从评价的视角思考初中几何变换的教学

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【摘要】全日制义务教育数学新课程强调了几何变换的内容，突出了变换在图形认识过程中的作用.2016年南京市中考数学第20题以几何变换性质为考察内容.题目的呈现方式，彰顯变换的特性；体现变换的一致性；强化研究视角的关联性；突出三种语言的统一性.学生的错误类型主要有不理解题意；结论写不全；未定量描述性质；合情的推理得出错误的结论；数学语言不规范.在几何变换的教学中，需要强化图形变换的过程性教学，加强合情推理与演绎推理的融合，重视几何语言的学习.

【关键词】几何变换评价

笔者有幸参加了2016年南京市中考数学阅卷，批阅第20题.亲历了命题者对此题命题意图及评分标准的解读，参与收集学生的典型错误，并汇报批阅此题的教学启示.现整理成文，与同行分享，敬请指正.1试题

原题呈现

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进一步研究.请根据示例图形，完成下表.

图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论

平移

①▲.AA′=BB′；

AA′∥BB′.

轴对称

②▲.③▲.

旋转

AB=A′B′；对应线段AB和

A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补.④▲.

评分标准

①AB=A′B′；AB∥A′B′.

②AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交，交点在对称轴l上.

③l平分AA′；l⊥AA′.

④OA=OA′；∠AOA′=∠BOB′.

每个空中需要填写相关对象的数量关系和位置关系.可以使用符号语言，也可以使用文字语言.与本标准答案不同的其它正确答案，参考本标准的精神给分.2命题意图赏析

2.1立足联系，彰显变换的特性

《数学课程标准（2011年版）》在课程内容中指出，学生通过具体的实例探索图形轴对称、平移和旋转的基本性质.在课程内容实施建议部分，以三角形的三种变换为例，阐述如何教学和评价此学习过程.把图形运动后的结果归纳在一起让学生辨认，有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处，从而把握轴对称、平移和旋转的基本特征，体验图形运动是研究图形的有力工具[1].本题将线段的三种变换有机的统一，以表格的方式呈现性质，异同鲜明，彰显了变换的特性.

2.2关注要素，体现变换的一致性

这三种变换具有一致性.首先，它们都是全等变换.其次，都是变换要素决定变换性质.图形运动的要素不一样，其变换后的位置也不一样，因此对应点与变换要素之间存在紧密的关联.研究其性质主要关注变换前后图形的相对位置及对应点的关系[2].比如，平移变换是沿一个方向移动一定的距离，其要素为定向、定距离，因此连接对应点的线段平行且相等；轴对称变换的要素是沿对称轴翻折运动，所以其性质与翻折及对称轴密切相关；旋转变换是绕一定点沿一个方向旋转一定的角度，其要素为定点、方向、角度，其性质必然与这“三要素”相关.

本题从“对应线段”和“对应点”两个方面归纳变换的性质.前者关注的是变换前后图形的关系；后者关注的是变换过程中，对应点的几何特征.这两个方面的性质都与变换要素紧密关联.

2.3凸显方法，强化研究视角的关联性

平面几何是研究图形形状、大小、位置的学科.一方面，图形的形状是其组成元素的位置关系与数量关系的一种直观体现，研究图形形状就是研究其组成元素的数量关系与位置关系；另一方面，图形的位置关系决定数量关系，数量关系可以判定位置关系.本题所给性质的范例意在引导学生从数量关系与位置关系两个角度归纳变换的性质，凸显了研究几何的一般方法，强调这两种研究视角的关联性.

2.4注重表达，突出三种语言的统一性

章建跃先生指出，数学思维好比一棵参天大树，“一个结构，两个方向，三种语言，四种形式”是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶.数学语言是数学的思维细胞.在此题中，使用图形描述变换的内容，要求学生用符号语言或者文字语言描述性质.本题考查了学生几何语言的表达能力，突出三种语言的统一性.3典型错误分析

此题需要学生认真阅读和理解题意，回忆课堂中探索图形变换性质的过程，并正确表述这些性质.阐述对象与相关对象之间的区别和联系属于结果目标中的“理解”层次.命题时将此题定位于全卷中的基础题，全卷共27题，此题位于第20题.然而，此题全市均分是464分，难度系数是058，大大超过了命题时的预估难度.学生解决此题的困难何在？有必要分析学生的典型错误.

3.1不理解题意

本题的题干和问题以表格的形式呈现，理解题意时需要关注每行每列的内容.表格中给出的变换的部分性质有示范作用，其表达方式可以帮助学生理解题意.不理解题意，没有体会示例的作用，不明确研究图形性质的视角和内容，都会导致错误的解答.

错误及分析：（1）将表格中已给的性质，换另一种几何语言重新写了一遍；（2）用不同的语言重复描述同一个结论.（3）定性描述示例图形，没有定量刻画图形的性质.比如在②空中写到AB与A′B′关于直线l轴对称.

3.2结论写不全

本题需要填写的数学结论涉及的数学对象有点、线、角.结合题目所给范例需从图形的数量关系与位置关系两个角度描述性质.很多同学概念理解不全混淆结论，题意理解不清漏写结论.

错误及分析：（1）不理解“对应点”和“对应线段”的概念及其它们的区别，要求写对应线段的性质却写成对应点连线的性质，要求写对应点连线的性质却写成对应线段的性质.（2）不知道从数量和位置两个角度刻画图形的性质，仅从一个角度写结论.（3）忽视变换要素的作用.比如忽视对称轴和旋转中心的作用，仅仅考虑线段AB、A′B′、A′B、AB′的关系，没有想到对应点、对应线段与对称轴和旋转中心之间的关系.

3.3未定量描述性质

错误及分析：（1）用不平行、不相等来描述线段的位置和数量关系.在②空中写到AB和A′B′所在直线不平行；在③空中写到，AA′≠BB′；在④空寫到AA′与BB′不平行.（2）没有定量描述线段关系.在④空中写到，AA′和BB′位置和数量关系无法确定；AA′和BB′相交于一点，没有定量描述它们夹角的大小关系.

3.4合情推理得出错误的结论

错误及分析：（1）在④空中写到∠AOA′=90°，直观上认为示例图形中的旋转角是直角.（2）在④空中，类比对应线段的结论，写出线段AA′和BB′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或者互补.这是合情推理，但得到的结论却是错误的，其实应该是与∠AOB相等或者互补.（3）在④空中写到AA′=BB′；△AA′O≌△BB′O；AA′和BB′关于点O中心对称；点A到A′和点B到B′所经过的路线相等.这些都是依赖直观得到结论，没有结合变换要素进一步演绎推理，验证其正确性.

3.5数学语言不规范

错误及分析：（1）在①空中写到同旁内角互补，对应角相等，描述对象不明确.（2）在③空中写到，线段AB到l的距离等于线段A′B′到l的距离；A′l=B′l；AA′和BB′平分l；对应线段到对称轴的连线相等且垂直于对称轴.不能准确表达点到直线的距离，两直线间的距离.（3）在④空中写到，点A、A′在圆O上；点A对应的角与点A′对应的角相等.不能准确表达圆和角.4教学价值引领

评价的主要目的是全面了解学生的数学学习过程和结果，改进教学.结合命题意图和学生的典型错误，反思我们的教学，至少有以下三点启示.

4.1要强化图形变换的过程性教学

在典型错误中，学生不理解“对应点”和“对应线段”的概念，忽视了变换要素的作用，不能从位置关系和数量关系两个角度定量描述性质.这启发我们要重视图形变换的过程性教学，强调概念的理解，突出研究几何性质的方法.

首先，要经历概念的形成过程，强化对“变换要素”和“对应”的理解.在图形变换概念的形成过程中，注意选取生活中典型的例子，感知轴对称、平移、旋转现象.借助操作活动，如折纸、剪纸，拉一拉，转一转，拼一拼等活动，帮助学生形成初步的表象，感悟其数学意义.在此基础上，通过画变换之后的图形，归纳变换的基本要素，抽象出图形轴对称、平移、旋转的概念.在画图的过程中，感受几何元素的“对应”关系，明确研究的对象——对应点、对应线段[2].

其次，要明确研究图形变换性质的方法.研究图形变换的性质就是研究变换前后图形的关系.最基本的，应当研究清楚“对应点”之间的关系.关注变换要素与图形的联系，经历定性描述到定量刻画的过程.这样的学习过程可以帮助学生学会用概念思考问题；学会用几何研究的“基本套路”探索问题，形成研究几何问题的基本活动经验[3].

最后，要给予学生充分探究性质的机会，鼓励不同的探究结果.在此题中，学生提供了很多与标准答案不同的其它正确答案，反映性质的探索过程是一个多样化的学习过程.比如，在①空中，有四边形ABB′A是平行四边形；∠BAA′+∠AA′B′=180°.在②空中，有直线l平分AB和A′B′所在的直线形成的夹角；AB′和A′B所在的直线相交，交点在l上，l平分它们的夹角；线段AB′和A′B的垂直平分线的交点在直线l上；l上任意一点到AB和A′B′的距离相等.在③空中，有l上任意一点与点A和A′的距离相等.在④空中，有等腰△AA′O∽等腰△BB′O，对应边成比例，对应角相等.

4.2要加强合情推理与演绎推理的融合

推理是数学的基本思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.在问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论[1].

在合情推理中，经验和直觉可以帮助我们猜想结论，但有时候会导致错误.比如在④空中，有同学类比对应线段的结论，猜想线段AA′和BB′所在直线相交所成的角与旋转角相等或互补，类比猜想是否正确？可以进一步作如下的演绎推理：如图1，设AA′和BB′所在直线相交于点P，由图1∠AOA′=∠BOB′，可得∠AOB=∠A′OB′；也可得等腰△AA′O∽等腰△BB′O，由相似可得∠AA′O=∠BB′O.所以，在四边形BOA′P中，∠BPA′=360°-∠B′BO-∠AA′O-∠A′OB=360°-∠B′BO-∠BB′O-（∠B′OB+∠A′OB′）=360°-（∠B′BO+∠BB′O+∠B′OB）-∠A′OB′=180°-∠A′OB′=180°-∠AOB.所以，∠BPA′=180°-∠AOB，∠B′PA′=∠AOB.由推理可以得到：线段AA′和BB′所在直线相交所成的角与∠AOB相等或者互补.从而发现先前的类比猜想的结论是错误的.因此，需要将合情推理和演绎推理结合起来，通过演绎推理证明合情推理得到的结论.

图形变换性质的学习应该是在操作活动和几何直观基础上进行推理，从定性到定量，从合情推理到演绎推理的过程.以苏科版教材为例，几何变换的学习，都是先进行图形直观的合情推理，然后再演绎推理.比如，在七年级下册学习完平移的性质以后，在八年级下册“四边形”一章，结合平行四边形的判定和性质对平移过程中“对应点的连线平行且相等”的性质作出了证明.从合情推理到演绎推理的学习过程，能加深学生对平移的认识，发展学生的推理能力.教学中，我们需要领会和贯彻教材的编写意图.

4.3要重视几何语言的学习

几何语言是学习几何的基础.正确理解和表达几何语言对掌握概念、识别图形、推理论证都有重要的作用.在本题中，学生需要根据题干中的图形语言，使用文字语言或符号语言表达图形的性质，需要用角度、距离、长度等几何量来定量描述图形位置和数量关系.学生不能读懂题意，不能规范的表达结论都与其几何语言薄弱有关.

比如在描述点和点之间的距离、点到直线的距离及两直线间的距离时，学生区分不清“三种距离”.在教学时，需要引导学生认识这“三种距离”的区别和联系.首先，明确三者的概念.两点之间的距离是指“两点之间线段的长度”；点到直线的距离是指“直线外一点到这条直线的垂线段的长度”；平行线间的距离是指“由两条平行线中的一条上的任意一点向另一条作垂线，这一点到垂足之间的垂线段的长度”.距离是一个数量（线段或垂线段的长度）而不是图形（线段或垂线段本身）.无论点到直线的距离，还是平行线间的距离，其实质都是点到点的距离，即已知点到垂足这两点之间的距离.其次，需要使用三种语言认识和理解概念.可以将“三种距离”的图形语言、符号语言、文字语言结合在一起比较辨析，体会三种语言的关系，增强学生在这三种语言之间的转换能力.最后，学生在运用“三种距离”时，要关注和规范其表达.类似的，学习其它的几何概念和定理时，也要强化概念和定理的理解和辨析，加强文字语言与结合图形的符号语言之间的互译训练.

我们也可以看出，学生不规范的几何语言中也存在合理性的成分，是介于不会和正确之间的层次，这是规范学生几何语言的认知起点.表明我们在平时的教学中需要关注学生语言层次的发展，分层次递进训练.首先是结合日常化的语言描述几何对象的特征；然后将文字的语言转换成符号的语言，把概念和性质图形化，符号化；最后将符号的语言运用到几何推理中[4].

参考文献

[1]全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]曹培英.“圖形与变换”的备课与教学[J].人民教育，2006（13-14）：59-66.

[3]章建跃.让学生在几何学习中学会认识和解决问题的方法——从一堂“图形旋转课”谈起[J].中学数学教学参考，2013（1-2）：3-6.

[4]陈增宝.初中几何语言及其教学[J].数理化解题研究，2009（6）：5-7.

作者简介金敏（1983—），男，安徽桐城人，中学一级教师，主要从事初中数学教学的研究.被评为“栖霞区优秀青年教师”，“栖霞区学科带头人”.曾获南京市优质课评比一等奖.多篇论文发表.刘春书，男，南京市优秀青年教师，南京市雨花台区教师发展中心教研室教研员.多篇论文发表.