高中数学线性规划问题分析

董悠

摘 要：作为直线方程简单应用的线性规划，由于在高考中的分值越来越大，逐渐受到更多的重视。线性规划的问题应用较广，因此题目非常灵活，常和其他知识交叉融合让学生进行求解，所以对学生的学习能力是一次考验。该文从高中数学中的线性规划问题的学习现状入手，对高中数学中有关线性规划的问题做一个综合分类，针对其中的具体问题逐一做具体分析。最后总结出适当的学习方法，针对线性规划问题做出具体研究。

关键词：高中数学 线性规划问题 不等式

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）02（a）-0193-02

作为数学应用的重要内容之一，线性规划问题包涵的优化思想在数学中属于基本思想。而问题本身以及解决问题的各种方法也促进了数学中多分支的发展。在高中数学中对简单线性规划问题掌握基本规律，了解以下方面内容：线性规划作为一种优化问题的计算工具，主要是在人力和物力，空间和时间等资源的约束条件下，力求用更少的资源赢取最大的经济效益。在线性规划中不仅体现出了常见的数学思想：数形结合、转化和化归等，同时还锻炼学生的逻辑思维能力、对问题的综合分析能力，对我们学生的数学学习也是一大锻炼。

1 当前高中数学中线性规划问题现状

高中数学中的线性规划问题一般包括：不等式、目标函数、画可行域、整点问题等。尤其学生对目标函数的运用转化、整点问题等的理解较为困难。但由于高中数学的抽象性，以及高中生负担较大、课业任务繁重等原因，学生在学习这些知识时十分吃力。在学习过程中多是老师一味地讲解举例，发挥不了学生的主体地位，无法调动其学习的积极性。学生对老师的这些互动反应一般，长此以往只会对数学感到枯燥乏味，失去新鲜感。

2 线性规划问题的具体研究

一般情况下，求线性目标函数在线性约束下最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。在线性约束条件内的得到的解称作可行解，由所有解组成的几何叫做可行域。线性规划的数学模型一般有几种形式：列出约束条件及目标函数；画出条件所表示的可行域；在可行域内求目标函数的最优解。根据这些内容的学习安排，由浅入深地学习这部分内容。

2.1 理解试题进行条件转化

即怎样把文字叙述中的问题转化成数学问题，用不等式、函数来进行解决。首先是找出试题中的关键点。如题：某公司想要生产甲、乙两样产品，每个产品的销售收入在5 000元、4 000元。甲、乙产品都需要在C、D两种设备上进行加工，在每台C、D设备上加工一件加设备所需工时分布为2 h、3 h，加工乙设备所需工时分别为3 h、2 h。C、D两类设备每个月的有效是同台实数分别是600 h和700 h，怎样安排生产可让收入最大[1]。

只是从这道题来看，甲、乙、A、B的信息都比较乱，不容易思考然后列出函数，这种情况下，我们可以先进行关键词的总结。这道题的关键词除甲、乙、A、B以外就是收入，那么我们在计算收入时，要先设什么量，通过思考也可以将题目中的信息总结成一个表格形式，看起来会更加清晰。先计算甲乙分别用时，再计算他们的范围，最后列出x、y的约束条件，找出x、y的关系，得出目标函数。

2.2 平面区域的作法

直角坐标系之间既标出的平面区域并不难画，但如果没有注意细节问题，也容易出现错误，从而成为学生难点。如直线坐标系的直线标注问题，因为是与现实有关的应用题，有些量或大或小。设x、y时，如认定纵坐标和横坐标的刻度一样，画出来的坐标轴可能很宽或者很长，因而可将试题恰当的变一下：例如y的范围是1000，x的范围是100，那这样y轴上的刻度可以使200，x轴上是20，因此可以用缩略法处理这类问题[2]。

然后我们做出每个不等式相对应的方程来，再画出相对应的直线。那么不等式的解集的对应哪一块平面区域，可用取特殊点的方式。如x+2y<=400，代入到（0，0）后，发现不等式成立，那么它所表示的就是直线在（0，0）那一遍的平面区域，即可行域。对于有些学习水平较差的学生，可先找到满足方程的两组解，随后画出两点，予以连接即可。平面区域的做法可以是换元法，先画出每个不等式所对应的平面区域，再得出这些平面区域的公共部分，这个公共部分表示的区域就是不等式的解集。

2.3 目标函数的最佳解法

在可行域内找到一个点使得目标函数最值取道，该解法可有多种方法完成，有些辅导书中采用了等高线，因为知识点联系不够紧密，所以这种方法让人难以理解。有的辅导书中的直线平移法用来解题会更加方便。

第一是先对目标函数变形，如y=-3x/2+z/200，可以先化成y=kx+b的形式，这样可以推测出k=-3/2，b=z/2000，因为（x，y）必须是可行域内的点，因此这条直线若是过可行域内一点，就要和可行域相交，但由于b是在变化着的值，因此这样的直线有着无数条。z最值的取定需视b的变化而定。先画出函数的直线，使其上移或下移，在和可行域相交的情况下，b变大z就变大；b达到最大值时z就达到最大值；直线向下移，b越小z就越小，b在最小值时z也在最小值。在b、z正负相反的情况下，他们之间发生的变化就相反，因此若得出直线平移适合可行域边缘相接的交点坐标，将坐标代入到目标函数进行计算就能得出z的最值。进行直线平移时由于直线复杂容易出错，对几条直线的位置关系弄不清楚，这种情况下可以利用直线斜率法进行解决。如k>0时，直线里的倾斜角是锐角；当k<0，k的值越大，直线倾斜角也就越大。掌握这些方法，对于线性问题的解题速度和正确率有很大帮助。

3 高中数学线性规划问题学习方法研究

3.1 提纲性自学

对于高中学生来说，自学能力培养是十分必要的。我们在学习二元一次不等式（组）与简单性线性规划问题时，分为自学阶段和答疑阶段，以书中的不等式为例，学生先自行阅读课本，完成几个问题，如不等式及解集怎样求，它的解集意义是什么。学生自学之后，可根据学生的疑问情況向老师提问，老师进行答疑解惑，对相关题目进行练习巩固、加深理解。这不仅对于学生是一种放松，可以根据自己的思路而不是费力追赶老师的节奏；同时在此过程中，老师也能够相应放松。

3.2 学生之间互助学习

由于每个学生的学习接受能力不同，有的学生可能对于一道题一点头绪都没有，有的学生却有好几种思路，单靠老师在课堂上的讲解是不够的，也难以对学生做到兼顾。这时就可以采取小组制的学习方法。让学习能力较强、理解能力较快的学生作为小组长，帮助其他学习有困难的同学，该模式对同学间的学习互动有很大促进作用。

3.3 充分利用学习资源

学生可以利用学校的学习资源播放相关知识的课堂录像或讲座，就像上课时一样学生自己需要做好笔记，如课堂的讲解主题、学习的内容、对学习中疑问之处、体会到了什么。学生面对较新型的学习方式、注意力也会更集中，效果也会更好。有条件的班级还可组织学生进行实际参观调查，目的在于提高学生的学习参与度，了解实际只是在现实中的应用，在解决一些应用题时也能更加得心应手。

4 结语

线性规划问题在高中数学中的学习较多，出题灵活，相互联系的知识点也较广，这就要求学生在学习过程中一定要充分准备，总结其中的重难点，稳扎稳打、夯实基础，学生才能够在之后的扩展问题中思考解答。也有利于学生逻辑思维能力思维的锻炼提升。

参考文献

[1] 吴建涛.高中数学线性规划类型及求解策略[J].劳动保障世界，2015（29）：53-54.

[2] 万曰龙.思辨相融，互动提升——由高中数学线性规划问题教学谈起[J].考试周刊，2016（38）：53-54.

[3] 贾金刚.浅议高中数学中线性规划思想在解题中的应用[J].中国培训，2016（2）：237-237.