倒立摆的串级控制系统设计

郭丙君

[摘要]在保证倒立摆摆杆不倒的条件下，使小车位置可控，应用串级控制设计方法，内环按照典I系统外环按照典II系统设计原则设计，仿真结果验证了控制系统具有良好的性能。

[关键词]倒立摆；串级控制；设计

0前言

倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统。人们试图寻找不同的控制方法以实现对倒立摆的控制，以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。

目前。已经报道了多种先进的控制方案如最优控制、自适应控制、智能控制等在倒立摆平台上成功应用。但是比较少有报道在保证倒立摆摆杆不倒的条件下，使小车位置可控。

1直线一级倒立摆的数学模型

首先给出直线一级倒立摆的数学模型。由动力学理论可以推导出直线一级倒立摆的运动方程，对其运动方程进行近视处理可到简化模型如式（1）。

（1）

式中：x为小车的位移；θ为摆杆与垂直向上方向的夹角；F为被控对象的作用力；M为小车质量；m为摆杆质量；J为摆杆惯量；2l为摆杆的长度；g为重力加速度。参数分别取值为M=1kg，m=1kg，l=0.3m，J=0.03kg*m*m。

将作用力F为系统的输入量，可以得到模型为：

（2）

电动机、驱动器、机械传动装置三个环节可近似为一个比例环节，比例增益为1.6。

2串级控制系统设计

一級倒立摆系统位置伺服控制的核心是在保证摆杆不倒的条件下，使小车位置可控。应用串级控制原理进行设计控制系统如图1所示。

设计原则是先内环后外环，与双闭环直流调速系统电流调节器、转速调节器设计相类似。

1）内环控制器的设计

内环是要求根据跟随性最佳原则来设计，由于内环角度被控对象是不稳定的，采用比例或者比例积分控制是不稳定。内环按照典I系统设计，对系统内环应该采用反馈校正进行控制，其框图如图2所示。

（3）

（4）

2）外环控制器的设计

外环的前向通道传递函数为：

（5）

表明是一个高阶带不稳定零点的非最小相位系统，表明车位的控制采用比例或者比例积分方案也是不稳定。应用工程设计方法，对外环模型进行降阶处理，降阶处理的条件与双闭环直流调速系统中一致。先忽略G_B2（s）的高次项，可以近似为一阶传递函数为：

（6）其次，对模型G₁（s）进行降阶处理，G₁（s）的传递函数为：

（7）

为了使得外环具有比较好的抗干扰能力，外环控制器应该按照典Ⅱ系统设计，显然，外环控制器应该为PD形式，其传递函数为：

则，外环的系统开环传递函数为：

（8）

式中时间常数T=0.177。

为了使得典Ⅱ系统具有比较好的抗干扰能力，应该取典II系统的中频段宽度h=5，这样，可以得到：

（9）

调节器参数为：K₄=0.38，K₅=1。

3仿真实验

根据上节设计的控制器参数及被控对象的模型，由于进行了近似处理，在仿真过程中外环的控制器参数进行优化，K₄=0.2，K₅=l。仿真实验结果如图3、图4所示。图3可以看出系统大约在3s就稳定了，小车位置就稳定在1，控制效果良好。图4表明在30s加入了一个单位为1的位置扰动，小车位置仍然稳定在1，表明了具有较好的抗扰能力。

4结论

通过应用双闭环控制系统的设计方法对一级倒立摆系统进行控制，在保证倒立摆摆杆不倒的条件下，使小车位置可控的，应用工程设计进行设计是可行的，仿真结果表明该控制方案可以达到良好的控制效果。

[责任编辑：杨玉洁]