借助几何直观 助力自主探索

曹克凡

《数学课程标准（2011年版）》明确指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。由此可见，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着举足轻重的作用，有助于提高课堂教学效果。那么在数学课堂上，如何借助几何直观，来帮助学生自主探索呢？下面笔者结合教学，谈一谈具体的想法和做法。

借助几何直观，激活探究思路

几何直观可以将相对抽象的思考对象“图形化”，把数学推理过程变得直观，让学生展开形象思维。例如，教学“解决问题的策略——转化”时，出示问题， 让学生思考两个图形的面积相等吗？学生首先凭借直观感觉，进行猜测。有的学生认为一样大，但又不太确定。怎么办？在问题情境的驱使下，激发了学生产生自主探索的欲望，唤醒了学生原有认知中的体验，主动去寻求办法，不知不觉地开始探究。同學们通过在图上画一画，算一算，或动手剪一剪、拼一拼等活动，借助眼前图形中可看见的东西，进行思考和想象，经过体验和尝试，最终找到了切实可行的办法，即通过把原来的两个不规则图形转化成长方形后，再比较面积的大小就变得简单容易多了。在这个活动过程中，不仅借助几何图形，发展了学生的空间想象力。同时，让学生深切地感受到转化策略在学习中的重要意义和价值。整个教学活动自始至终，学生是在借助几何直观来观察、思考、分析、想象，在对比中不断辨析，使得研究对象变得显而易见，变原本复杂而抽象的问题简单化、形象化，有效助推了自己探索解决问题的思路，活跃了思维，打通了思路，活用了思想，直观地理解了数学。

借助几何直观，激活探究方法

有些数学的研究对象是外显的、直观的，还有很多数学的研究对象是隐性的、抽象的，这是数学的基本特点。但是，这些抽象的对象是可以追溯其源头的，它的源头一定是具体的。在数学中，需要依托几何直观去想象和思考抽象的问题。所以，让学生养成画图习惯，学会从“数”与“形”两个角度认识数学，运用几何直观就可以借助于不受语言束缚的“心理图像”，使探究方法活起来。例如，在教学“平均数”时，有这样一道题：“李阳的期末考试成绩单上的数学成绩不小心被弄脏看不清了，你能帮助他算出数学得多少分吗？”解答时，教师引导学生画出第二幅图。

学生就能根据平均数的意义和图形得出简捷的解法：85+（3+4）=92（分）。由此可以看出，利用数形结合由数学问题的条件画出图形，运用几何直观，可以使学生把抽象的算理形象化、直观化，更有助于学生理解知识其内部的因果联系，让探究方法活起来。

借助几何直观，激活探究过程

著名物理学家杨振宁说过：每一个物理模型都有一种几何的表示，反之，每一种几何都可以找到一个物理模型。可见，几何直观与“逻辑”“推理”密不可分，直观是抽象的基础，也是推理的基础。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，把数量关系的符号形式与几何图形形式有机结合，从而形成分析、研究、解决问题的数学思想和策略。这是数学非常重要的思维方式。

在数学教学中，教师要为学生提供典型的习题，善于“借题发挥”，有效激活学生探究活动的过程。例如，教学 “+++”时，学生首先想到可以先通分算出得数。但是，如果仅仅就此止步，这道题更多的“营养的成分”就流失，更重要的思维价值没有被挖掘。可以激发学生：这道算式还隐藏着什么规律呢？学生观察发现，第一个加数是，后面的每个数都是前一个加数的二分之一。然后，继续追问：如果在这个算式的后面继续写下去，应该是？如果仍然先通分再计算，方便吗？学生摇头并思考究竟有没有更加简捷的方法呢？进而继续引导：想一想，我们在研究分数时，常常用图形来表示分数。如果用这个正方形表示单位“1”，你能表示出算式中的每一个分数吗？

学生在图中涂色表示出每一部分的分数后，进一步观察能否有什么新的发现？让学生把数和图形联系起来，不断观察和感悟，最终会发现正方形中的涂色部分就表示这4个分数的和，用正方形减去空白部分，就是涂色部分。即1-=。这样，将复杂的加法计算转化成简单的减法计算。在这个过程中，学生将数或算式跟图形结合起来，激活了探究过程，体验了运用转化思想来解决问题的策略。

在解决数学问题的过程中，教师要善于借助几何直观，充分利用几何直观的价值，使分析思维和直觉思维互补互用，让学生的自主探索活动活起来。

（作者单位：江苏省徐州市星光小学）