带电粒子在有界匀强磁场中的碰撞问题探究

李兴远

摘 要：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，当碰到绝缘的器壁（或挡板）时以原速率反向弹回，继续做圆周运动，有时会碰撞若干次。这类问题往往存在多解，对培养学生的思维能力、利用数学知识解题能力起到很大作用。磁场的“边界”主要有“圆形”“三角形”“正方形”等等，本文对这类问题做一探究。

关键词：高中物理；带电粒子；匀强磁场

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）23-123-1

探究一 在圆周上的碰撞

例1 在半径為r的圆筒中，有沿筒的直线方向的匀强磁场，磁感应强度为B。一个质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从筒壁A处沿半径方向垂直于磁场射入筒中，若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生了弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续碰撞绕筒一周仍从A处射出，则B必须满足什么条件？

探究二 在多边形上的碰撞

例2 如图所示，正三角形ACD是一用绝缘材料制成的固定框架，边长为L。在框架外是范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，ACD可视为磁场的理想边界。质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从CD边中点的小孔S垂直于CD边射入磁场，若粒子与框架的碰撞为弹性碰撞，且每一次碰撞时的速度方向均垂直于被碰的边框，要使粒子在最短时间内回到小孔S，求：

（1）粒子做圆周运动的轨道半径，并画出粒子在磁场中的运动轨迹和绕行方向。

（2）粒子射出小孔时的速度。

（3）粒子回到小孔S所需的最短时间。

解析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，与边框垂直碰撞后要重新回到小孔S，根据正三角形的对称性可知，A、C、D三点必为圆轨道的圆心，

要使粒子回到小孔S的时间最短，圆轨道半径为：R=L2。运用左手定则可画出粒子运动的轨迹和绕行方向如图所示。

（2）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则

qvB=mv2R，R=L2，故v=qBL2m。

（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期

T=2πmqB，故t=3×56T=5πmqB。

例3 如图所示，光滑绝缘壁围成的正方形匀强磁场区域，边长为a，磁场的方向垂直于正方形平面向里，磁感应强度的大小为B。有一个质量为m、带电量为+q的带电粒子，从下边界正中央的A孔垂直于下边界射入磁场中，设粒子与绝缘壁碰撞时无能量损失和无电量损失，不计重力和碰撞时间。

（1）若粒子在磁场中的半径等于a2，则粒子射入磁场的速度多大？经多长时间粒子又从A孔射出？

（2）若粒子在磁场中运动的半径等于a4，判断粒子能否再从A孔中射出，如能，求出经多长时间粒子从A孔射出；如不能，说出理由。

（3）若粒子在磁场中运动的半径小于a，且仍然能从A孔垂直边界射出，粒子射入的速度应为多大？在磁场中的运动时间多长？

解析：（1）由于带电粒子受洛伦兹力作用在磁场中做匀速圆周运动，半径为a2，故qvB=mv2R，r=a2，得v=qBa2m。

粒子在正方形内与另外三边发生碰撞，故在磁场中的运动是一个完整的圆周，即t=T=2π·mqB。

（2）能。由qvB=mv2R，r=a4，得v=qBa4m。

而带电粒子运动到右下角时和底边发生碰撞后被反弹，粒子将紧贴右边框向上做匀速直线运动，因为洛伦兹力与右边界对带电粒子的支持力平衡。

结论：带电粒子在有界匀强磁场中的碰撞问题，一是要关注“边界”的形状；二是要注意带电粒子所受洛伦兹力的方向、旋转方向、旋转的圆弧长度及所对应的圆心角；三是要注意碰撞发生的周期规律及轨迹的对称性；四是要充分利用平面几何和立体几何、三角函数方面的数学知识等。