基于函数模型的S型无碳小车的凸轮设计

李洲　陈鑫　李祥光　文春海

摘要：针对轨迹为S 型运动特性的无碳小车，对其进行了设计优化及参数调整。通过对标准的S形轨迹进行分析，运用解析数学求出凸轮行程与导向轮偏角的关系，并用拟合函数分析设计凸轮行程及凸轮基圆半径，设计了一台创新型“S”无碳小车。最后利用MATLAB进行凸轮轮廓曲线设计，保证运行小车凸轮结构的合理性。

关键词：无碳小车；S型轨迹；凸轮设计；数学函数分析

第五届全国大学生工程训练综合能力竞赛中的S型无碳小车，要求将小车上砝码下落的重力势能转化为驱使小车前行的动能，并且通过转向机构使小车实现避开障碍物，呈S形轨迹行驶。在历届全国大学生工程训练大赛中，众多S型无碳小车的参赛团队采用曲柄摇杆机构、空间四杆机构作为小车的转向机构。陈果等使用了了空间曲柄摇杆机构，通过曲柄连杆的传递使得水平面上的摇杆连接的方向轮随之左右摆动从而实现小车转向要求[1]。王政等通过对RSSR空间四杆机构的优化设计，使转向机构的对称性得到提高，使其作为无碳小车的转向机构[2]。这些转向机构结构都会存在急回的特性，这种特性会导致最终小车行驶的轨迹发生偏离。虽精确地微调机构能较好的避免急回特性带来的误差，但这将使得其中的微调机构设计较为复杂。在历届众多参赛队伍中，采用曲柄摇杆机构的占多数，因此创新型设计凸轮机构作为小车的转向机构。在凸轮的传动机构中，设计适当、合理的的凸轮轮廓能实现从动件任意的的与预期相符的运动的规律和运动的方式。于是凸轮式物碳小车成为比赛中的一大亮点。

一、采用函数模型设计凸轮的优势探讨

函数模型是处理生活中实际问题的一般的方法，同时也是处理科学中理论问题的一种十分经典的方法。它能根据生活中某种特定的生活现象特有的内在规律，并对此种现象做出简化和有效的假设，运用适当的数学函数，概括或近似地表述出来的一种数学结构。

在凸轮设计中，核心部分就是凸轮轮廓线的设计，凸轮的轮廓曲线的设计通常采用解析法和图解法。借用函数模型用解析法对凸轮进行设计，可以设计出精度更高的凸轮。为使S型无碳小车能绕桩走更远的路程，要求小车S型轨迹左右对称，则从动件需运动平整，精度高。利用函数模型设计的凸轮基圆、行程、从动件、轮廓曲线能较合理的满足上述要求。

二、关于利用函数模型对S型无碳小车的凸轮设计

（一）凸轮行程的确定

1.从动件运动规律确定

S型无碳小车是将砝码下落的重力势能转换为小车的动力势能，同时满足小车能沿S性轨迹行走并绕桩。为提高小车行走轨迹的准确性，则要求凸轮机构中从动件适于低速运动、凸轮轮廓曲线便于加工和测量[3]。如下表所示，通过比较从动件的各种运动特性，发现简谐运动规律中，从动件只有在行程的开始和终止时的瞬间，加速度会产生突变，产生柔性的冲击，因此采用了谐振运动规律。

2.凸轮行程计算

为使小车路程走得更远，同时让小车拥有一定的容错率，预留了小车400mm的安全距离，故模拟小车转向轮的标准轨迹如图1：

其中400mm为小车轨迹的振幅即小车的安全距离，2000mm为小车走一个S轨迹的轴向距离即两个桩的距离。代入正弦函数式得：

f（x）=400sin2πx2000（1）

对此函数进行一阶求导，得：

df（x）dx=π1000×400cosπx1000（2）

df（x）dx=2π5cosπx1000（3）

x为小车整体前进的位移，令x=0，则df（x）dx=2π5，即小车在行驶S轨迹中导向轮最大偏角出现在桩线与标准轨迹相交处，如图2。设导向轮最大偏角为α，则tanα=2π5=1.2566，最大偏角α=arctan2π5。

对于如何实现从动件对导向前轮的偏转，我们小组决定采用齿轮齿条机构来解决。凸轮的行程H即从动件往复运动距离M，齿轮齿条啮合处距导向轮旋转中心为N，即为齿轮齿条机构中齿轮的分度圆半径r=12m*z。

当导向轮达到最大偏角时，此时凸轮使从动件达到最近或最远，则tanα=M2N，M=2N*tanα，凸轮行程H=M ，H=2N*tanα 。

（二）滚子半径的选取及凸轮基圆的确定

1.滚子半径选择

本文在设计转向机构中，为使凸轮与从动件结构紧凑，啮合紧密，因而采用滚子将凸轮与从动件连接，因此将凸轮设计为盘形沟槽凸轮。

滚子半径rk的大小对凸轮机构的运动规律及其受力性能都会产生影响。增大rk可以有效的解决凸轮与转向机构中的受力性能问题，同时可以减少凸轮与滚子接触面之间的接触应力。但若rk过大，会对凸轮实际轮廓产生影响，甚至可能导致从动件运动规律失真。所以，在确定从动件机构中的滚子半径时，应先保证从动件直杆的运动规律不会发生失真现象，在此基础上考虑减少滚子的磨损程度，可使滚子心轴能满足强度要求，故rk应小于轮廓线的最小曲率半径ρmin ，即rk≤ρmin，一般取rk≤0.8ρmin。

2.凸輪基圆确定

设从动件滚子与凸轮接触处点绝对速度矢量为v1 ，凸轮转动的角速度为1 ，凸轮基圆半径为r0 ，凸轮轮廓上任一点失径为r ，凸轮机构的压力角为，从动件的位移为s[5]2。则由该点速度与失径关系，可知v1=rω1tanα，即r=v1ω1tanα，且s2=r-r0。

由上式，得

r0=r-s2=v1ω1tanα-s2（4）

即

r0∝1tanα∝1α（5）

可知凸轮基圆半径r0与压力角成反比。凸轮机构的尺寸取决于凸轮的基圆半径r0 ，如果取小基圆半径r0，则可得到尺寸紧凑的凸轮机构。若从改善凸轮机构的受力性能考虑，凸轮基圆半径r0取大。因此，综合考虑到小车整体结构的布局和限制以及以及凸轮机构和其他机构的安装问题，以及后期实验经验所得，选取凸轮基圆半径为31mm 。

（三）利用matlab进行凸轮轮廓曲线的设计

根据反转法原理，凸轮机构中推杆的滚子再反转运动中，滚子与凸轮接触点的轨迹即为盘形凸轮的理论轮廓，凸轮沿其角速度方向转过角，就相当于推杆在反转运动中沿方向转过角。

盘形凸轮的理论轮廓线方程如下：

X=（s0+s）sinφ+ecosφ（6）

Y=s0+scosφ-ecosφ（7）

其中s0=r20-e2，φ凸轮转角，s是从动件位移，e是从动件的偏置[6]。

凸轮的实际轮廓线的方程为：

x1= x+rkdy/dφdxdφ2+dydφ2（8）

y1= y+rkdx/dφdxdφ2+dydφ2（9）

其中rk为滚子半径。当偏心直动推杆凸轮机构在推程运动中时，凸轮与推杆的相对运动瞬心在某一点时，其压力角为α，则：

tanα = ds/dφes + r20 e2（10）

当偏距为0时，此时

tanα=ds/dφs+r0（11）

有公式（6），（7），（8），（9），（11），则理论轮廓线的曲率半径：

ρ= dxdφ2+dydφ2 3/2dxdφd2ydφ2-dydφd2xdφ2（12）

二阶求导凸轮理论轮廓线：

d2xdφ2=（2dxdφ-e）cosφ+（d2sdφ2-s0-s）sinφ（13）

d2ydφ2=（d2sdφ2-s0-s）cosφ-（2dxdφ-e）sinφ（14）

综合上述各式，得到世纪轮廓曲率半径0

ρ0=ρ+r

运用matlab软件，通过编写M文件，如图3所示：

使用其中主要的函數和命令，绘制出凸轮轮廓线。以凸轮转角φ作为循环控制变量，实现对凸轮某个运动角或整周360度区域的轮廓，按照相同公式进行逐点的参数计算[7]。最终得到如图4所示：

三、结语

对于此次S型无碳小车的凸轮机构的设计，相比于其他类的转向机构，凸轮机构能有效地避免急回特性的产生，从而降低小车整体行驶轨迹的偏移。通过对一些数学知识的运用，计算出凸轮行程与导向轮偏角的关系，并设计出凸轮行程，同时也运用拟合函数分析设计凸轮基圆半径。最后通过matlab模拟绘画出凸轮轮廓曲线，验证凸轮轮廓曲线的合理性。

参考文献：

[1]陈果，黄荣舟，李炳川.无碳小车转向机构设计与微调分析[J].机械工程师，2015，（08）：152154.

[2]王政，何国旗，胡增.基于ADAMS软件的无碳小车转向机构设计[J].湖南工业大学学报，2013，27（5），2832.

[3]粱庆，吴伟.基于MATLAB的无波动往复泵凸轮参数化设计[J].重型机械科技，2006，（04），1820.

[4]唐林.机械设计基础[M].北京：清华大学出版社，2013：93103.

[5]唐林.机械设计基础[M].北京：清华大学出版社，2013：112113.

[6]杜志强，葛述卿，房建峰，温广宇.基于MATLAB语言的机构设计与分析[M].上海：上海科学技术出版社，2011：178184.

[7]郭仁生.基于MATLAB的凸轮机构设计[J].顺德职业技术学院学报，2005，3（1），2022.

作者简介：李洲（1995），男，湖北孝感人，学生，2014级汽车服务工程 ，主要从事汽车制造、机械制造研究。

通讯作者：陈鑫（1988），男，武汉商学院机电工程与汽车服务学院教师。