空心圆柱滚子弹性趋近量的计算方法

刘彦奎，魏延刚，关天民，张秀娟

(大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)*

空心圆柱滚子弹性趋近量的计算方法

刘彦奎，魏延刚，关天民，张秀娟

(大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)*

通过对空心圆柱滚子接触特点的分析研究，发现空心度是影响其弹性趋近量的一个重要参数.合理建立空心滚子接触问题的有限元模型，在对大量有限元计算结果进行分析研究的基础上，提出了计入空心度影响的空心滚子弹性趋近量计算公式，为空心滚子轴承的设计提供指导.

空心圆柱滚子；有限元；空心度；曲线拟合

0 引言

滚子与滚道接触时的弹性趋近量公式是滚子轴承分析的基本关系式，是计算轴承载荷分布和轴承刚度的基础，其精确性对轴承设计至关重要.因此，国内外学者在这方面做了大量研究工作.目前，最常用的就是Palmgren公式[1].对于钢制滚子轴承，假设接触载荷沿滚子母线均匀分布，则Palmgren给出的弹性趋近量计算公式为：

式中，Q为滚子载荷，l为滚子有效长度.文献[2]指出Palmgren公式没有考虑滚子半径和内外滚道曲率对弹性趋近量的影响，在数值计算的基础上提出了计入滚子半径和内外滚道曲率的弹性趋近量拟合公式.文献[3]对现有线接触弹性趋近量分析方法进行了分析对比，结果表明，采用Zantopulos公式的计算结果最差， 而采用Lundberg、Palmgren、Houpert以及改进的切片法等理论的计算结果相差不大，可以根据需要选用.

然而对于空心圆柱滚子轴承，由于其结构特点，空心圆柱滚子与套圈的接触属于非Hertz接触问题，因此采用Palmgren公式求解空心滚子与滚道接触时的弹性趋近量显然会存在很大误差.文献[4]将空心滚子的变形简化为弹性曲梁的变形，从而采用卡氏第二定理推出了空心圆柱滚子在径向载荷作用下的压缩变形量，但是这种方法求解的弹性趋近量可靠性值得商榷.而文献[5]将Palmgren公式和文献[4]的结果进行了加权合成，从而形成了新的弹性趋近量拟合公式，其可靠性也值得怀疑.因此，本文在分析前人研究结果的基础上，采用理论计算和有限元计算相结合的方法，提出计入空心度的空心圆柱滚子弹性趋近量计算公式，为空心滚子轴承的设计提供指导.

1 有限元分析模型的建立及可靠性验证

对于有限元分析，模型的网格划分非常重要，其合理与否对计算结果有较大影响.为了验证有限元分析模型的可靠性，首先取具有理论解的实心滚子与半平面的接触时的

图1 有限元网格模型

接触应力进行验证.所采计算模型中，滚子的线载荷p=320N/mm，材料弹性模量E=2.07×105MPa、泊松比λ=0.3，与空心滚子接触的为两个半平面，作用在滚子上的均匀线载荷p=320N/mm.三种不同半径的实心滚子模型的有限元计算结果和理论计算结果见表1.

表1实心滚子最大接触应力理论解与有限元计算结果对比

从表中可以明显看出，所建立模型的有限元计算结果与理论解非常接近，最大误差只有0.42%，可见，所建有限元分析模型的计算精度相当可靠.

2 有限元计算结果及分析

采用上述模型，对三种滚子半径分别为5、10和20mm的空心滚子进行有限元分析.为了更全

表2 不同参数时空心滚子的弹性趋近量对比

面的说明空心度对滚子弹性趋近量的影响，计算模型中滚子空心度的范围是0～80%.

通过表2不难看出，随着空心度的增大，滚子的弹性趋近量逐渐变大，且随着空心度的增加，弹性趋近量的增加幅度也急剧加大，当空心度为80%时，半径R=5mm的空心滚子弹性趋近量是实心滚子的31.2倍；滚子半径对弹性趋近量的影响不大，当空心度小于70%时，随着滚子半径的增加，滚子的弹性趋近量有所增加，但增加幅度不大，而当滚子的空心度继续增加时，滚子的弹性趋近量随滚子半径的增加而有所减小，但减小幅度也不大.

采用优化软件对空心度的影响进行曲线拟合，得到空心滚子的弹性趋近量拟合公式为：

式中，δ0-max为实心滚子的弹性趋近量，K为空心度，三种不同半径时的参数a1至a11见表3.

表3 不同半径时式(1)中的参数

从表3中不难发现，随着滚子半径的不同，优化结果中的系数相差很大.然而，经过计算发现，采用三组不同参数时，对不同半径滚子弹性趋近量的计算结果影响不大.采用R=10mm的一系列参数作为拟合曲线参数来计算R=5mm时的弹性趋近量时，得到拟合曲线的决定系数(DC)为0.999 683，相关系数(R)为0.999 988，均方差(RMSE)为0.001 188 15，残差平方和(SSE)为0.000 018 352 21；而采用R=10mm的一系列参数作为拟合曲线参数来计算R=20mm时的弹性趋近量时，得到拟合曲线的决定系数(DC)为0.999 884，相关系数(R)为0.999 997，均方差(RMSE)为0.000 700 832，残差平方和(SSE)为0.000 006 385 16，可见采用R=10mm时的一组参数作为拟合曲线参数时，对不同半径滚子弹性趋近量的计算精度很高，而采用另外两组参数来作为拟合曲线参数计算弹性趋近量时，也可以得到类似精度的计算结果，因此上面任意一组参数都可以作为式(1)中计算空心滚子弹性趋近量计算公式中的参数.

3 结论

通过对ABAQUS中所建立空心滚子有限元模型的分析研究，得到如下结论：

(1)空心滚子的弹性趋近量随空心度的增大而增大，且随着空心度的增加，弹性趋近量的增加幅度也急剧变大；

(2)空心度相同时，滚子半径对空心滚子弹性趋近量的影响不大，当空心度小于70%时，滚子的弹性趋近量随滚子半径的增大而变大，但是变化幅度很小，而当滚子的空心度继续增加时，滚子的弹性趋近量随滚子半径的增加而有所减小，但减小幅度也很小；

(3)经过曲线拟合，获得了计算空心滚子弹性趋近量的拟合公式，拟合公式对不同半径的空心圆柱滚子都有较好的计算精度，为空心圆柱滚子轴承的设计提供指导.

[1]PALMGRENA.BallandRollerBearingEngineering[M].3rd,Burbank:Philadelphia,1959.

[2]罗天宇，罗继伟.圆柱滚子的弹性趋近量[J].轴承，2009(6):8- 10.

[3]陈家庆，张富辉，周永新.线接触问题的弹性趋近量与滚子轴承的载荷分布[J].机械设计与制造，2003(3):40- 42.

[4]陈家庆，毛红兵，张宝生.无预载荷空心圆柱滚子轴承的理论研究[J].轴承，2002(6):1- 5.

[5]李伟健，潘存云，王吉荣，等.空心圆柱滚子接触变形的一种计算方法[J].轴承，2009(8):1- 5.

Computational Method of Hollow Cylindrical Roller Elastic Approach

LIU Yankui，WEI Yangang，GUAN Tianmin,ZHANG Xiujuan

(School of Mechanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

According to contact characteristics of hollow cylindrical roller, it can be found that hollow ratio is an important parameter affecting the elasticity approach. The finite element analysis model of hollow cylindrical roller bearings was built, on the basis of the analysis of the results of a large number of finite element models, and the calculation formula of hollow roller elastic approach included in the hollow ratio is derived, which could provide guidance to the design of hollow cylindrical roller bearings.

hollow cylindrical roller;finite element method;hollow ratio;curve fitting

1673- 9590(2017)03- 0043- 03

2016- 07- 27

辽宁省教育厅高等学校科学研究计划资助项目(JDL2016015)

刘彦奎 (1981-)，男 ，讲师 ，硕士，主要从事机械设计及理论的研究E-mail:liu_yankui@163.com.

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