复函数在孤立奇点的留数

◎缪彩花

(丽江师范高等专科学校数计系，云南 丽江 674199)

复函数在孤立奇点的留数

◎缪彩花

(丽江师范高等专科学校数计系，云南 丽江 674199)

本文介绍了留数定理与柯西积分公式的关系、留数定理在计算实积分中的应用，便于读者熟练深化对留数的理解，提高综合运用能力.

留数；解析函数；区域

留数是复变函数理论的重要内容之一，它是研究解析函数的重要工具，经典的留数定理是柯西积分公式和高阶导数公式的推广，也是我们处理数学分析中的一些实积分的有力工具.

一、留数定理与柯西积分公式、高阶导数公式的关系

二、留数定理在计算积分中的应用

另外，留数定理可以计算一些实积分.在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常烦琐.在这种情况下，把这些积分的计算问题转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数.其中的思想方法是：把定积分转化为一个复变函数沿某条封闭路线上的积分.具体的做法如下：

第一步，被积函数的转化.根据实积分被积函数f(x)的特点，做相应的复变函数F(z)，使当z∈(a，b)(其中(a，b)为积分区间)时，F(z)=f(x)或F(z)的实部或虚部之一等于f(x).

第二步，积分区域的转化.作一条(或几条)按段光滑的辅助曲线Γ，使它与(a，b)构成闭曲线并围成区域D，使F(z)在D内除有限个孤立奇点zk(k=1，2，…，n)外处处解析.

[1]钟玉泉.复变函数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]张南岳，陈怀惠.复变函数论选讲[M].北京：北京大学出版社，1995.

[3]李忠.复分析导引[M].北京：北京大学出版社，2004.