“滚”动中的数学

渠英

数学来源于生活，生活中处处有数学，如“滚”动在生活中处处可见，火车轮子沿铁轨的滚动，汽车轮子沿笔直的路面滚动等，滚动中蕴含着很多数学规律及知识，下面就硬币的滚动、三角形的滚动及矩形的滚动三个方面介绍滚动类问题的解法.

一、硬币的滚动

1.硬币沿圆滚动.

例1 已知两圆，其中大圆的半径是小圆半径的5倍，将大圆固定，小圆在大圆外面沿大圆无滑动地滚动一周，那么，小圆自身转运了几圈？小圆扫过的面积是多少？将大圆固定，小圆在大圆内部沿大圆无滑动地滚动一周，那么，小圆自身转运了几圈？

【分析】动圆沿直线滚动和动圆沿定圆滚动的距离实际上就是动圆的圆心移动的距离，抓住这些特点，就能顺利地解决相关问题.小圆转一周所扫过的面积，即为圆环的面积.

解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为5r.

（1）如图1（1），当小圆在大圆外面沿大圆无滑动地滚动一周时，OP=5r+r=6r，所以，小圆圆心滚动一周的距离为2π?6r=12πr，所以滾动的圈数为[12πr2πr]=6（圈）；如图1（2），动圆扫过的为圆环，圆环的半径是5r+2r=7r，大圆半径为5r，圆环的面积是π（7r）2-π（5r）2=24πr2.

（2）如图1（3），当小圆在大圆内部沿大圆无滑动地滚动一周时，OP=5r-r=4r，小圆圆心滚动的距离为2π?4r=8πr，所以滚动的圈数为[8πr2πr]=4（圈）.

【点评】求动圆转动的圈数时，关键求出动圆圆心移动的距离，用此距离除以动圆的周长，即得到动圆所转动的圈数.

2.硬币沿折线滚动.

例2 （1）如图2（1），⊙O作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的半径为r.∠ABC=90°，AB=BC=πr.⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转多少周.

（2）如图2（2），△ABC的周长为5πr，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由.

（3）如图2（3），多边形的周长为5πr，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的圈数.

【分析】求圆转动的圈数时，关键是求圆心移动的距离.在折线的外侧滚动时，在拐点处移动的距离是扇形的弧长，而扇形的圆心角的度数为180°与两条折线夹角度数的差.扇形的半径即为动圆的半径.

解：（1）如图2（1），动圆移动的距离为AB+[90πr180]+BC=2πr+[πr2]，所以转动的圈数为[2.5πr2πr]=[54]（圈）.

（2）∵△ABC的周长为5πr，⊙O在△ABC三顶点A、B、C处转过的三条弧的中心角分别为：180°-∠A、180°-∠B、180°-∠C，这三条弧的中心角的和为360°，所以三条弧的和为一个圆即为2πr，因此圆移动的距离为5πr+2πr=7πr，所以转动的圈数为[7πr2πr]=[72]（圈）.

（3）同样，转动的圈数为[7πr2πr]=[72]（圈）.

【点评】圆在多边形的外面滚动时，各拐点处弧的长度的和刚好为动圆的周长.所以滚动的路程为多边形的周长与动圆的周长的和.

二、三角形沿直线滚动

例3 如图3（1）所示，边长为2的等边三角形ABC的三边贴着直线l向右滚动一周，等边三角形ABC的中心O经过的路程是多少？等边三角形顶点A经过的路程又是多少？

【分析】等边三角形的中心就是三角形三条中线的交点.三角形滚动时，先绕点C，再绕点A，最后绕点B转动.中心滚动的路程是中心角为120°的三条弧长度的和.顶点A先绕点C，再绕点B绕转，滚动的路程是中心角为120°的两条弧长度的和.

解：如图3（1），OC=[233]，三角形的中心O滚动的路程为[120π?233180]×3=[43π3].

如图3（2），顶点A滚动的路程为[120π?2180]×2=[8π3].

三、矩形沿直线滚动

例4 如图4（1），将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动一周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是 cm.

【分析】解决此类问题的关键是找出每一次的旋转中心，旋转半径，旋转次数.

解：正方形在直线l上滚动时，第一次旋转中心为C，旋转半径是AC，路线长为[90π?82180]=[42]π（cm）；第二次旋转中心为D，旋转半径是AD，路线长为[90π?8180]=4π（cm）；第三次旋转中心为B，旋转半径是AB，路线长为[90π?8180]=4π（cm）.A所经过的路线的长是[42]π

+4π+4π=（8+[42]）π（cm）.

【点评】解决正多边形的滚动问题时，抓住关键的旋转点，借助于纸片，动手操作一下，可能更便于问题的解决.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）