永磁同步电机突变负载转矩的模拟与分析

童 怀，陈新度，黄运保，吴民安，鹿红伟

(1．广东工业大学，广州510640;2．海信集团，青岛266071)

0 引 言

近年来随着电机设计、电机制造水平及永磁材料性能大幅提升，同时伴随着电力电子技术的高速发展，永磁同步电机(以下简称PMSM)以其高功率密度、高可靠性及低成本等优点广泛应用于电动汽车、数控机床、机器人、变频空调等领域。

负载突变工况是指在极短的时间内负载转矩出现剧烈的波动，电动汽车、机器人关节电机、某些变频空调中的永磁同步电机，常常会遇到这种负载突变工况。有的负载突变不具有周期性重复的特点，如电动汽车在行驶时所遇到的负载转矩突变情况就非常复杂。而有的负载突变具有规律性，如机器人在一个任务行程中关节电机负载转矩突变具有周期性重复的特点;又如单转子压缩机家用变频空调系统中，永磁电机通过偏心曲轴驱动滚子压缩冷媒，在旋转过程中存在很大的负载突变，且这种负载突变也具有周期性重复的特点。电机及其控制系统的建模与分析是优化电机控制策略的重要手段，但是针对永磁同步电机负载突变这一具体工况来建模分析的文献报道并不多，本文正是针对变频空调中的这种工况，在前期仿真工作的基础上［1－2］开展建模分析研究的。

家用变频空调的输入功率常在1．5 kW以内，由于相对其他结构形式的压缩机，单转子压缩机成本最低而被广泛采用，目前国内单转子压缩机变频空调的市场年销售规模超千万台。对单转子压缩机变频空调中的负载突变工况，常用的控制方法是在矢量控制基础上加入转矩前馈补偿［3－4］，文献［3］着重介绍了通过一个机械周期内电磁转矩对位置积分的能量函数，有效地估算出当前负载状况的方法，文献［4］主要介绍了一种压缩机中永磁电机的位置估算方法，并提出了一种自动计算当前负载状况的方法。在变频空调压缩机的密封环境中，负载转矩的变化规律是很难测量的，突变负载的模拟问题，或者说验证压缩机厂家提供的负载特性曲线是否准确的问题，是建立仿真模型的一个关键问题，本文正是在文献［3－4］基础上就突变负载模拟的准确性问题开展进一步研究。本文运用谐波分析方法，研究了突变工况下q轴电流随负载转矩的变化规律，提出了仿真分析模型中负载模拟准确性的验证方法，这种分析方法在MATLAB平台下容易实现。

1 PMSM的数学模型

在d－q坐标系中，PMSM稳态电压方程［5］:

d，q轴稳态磁链方程:

稳态电磁转矩方程:

式(1) ～ 式(3)中:Ud，Uq，id，iq分别为 d，q 轴电压和电流;Rs为定子电阻;Ld，Lq分别为d，q轴电感;ψd，ψq分别为 d，q轴磁链;ψf为永磁体磁链;ω 为电角速度;p为电机极对数;Tem为电磁转矩。

电机的运动方程:

式中:J为电机的转动惯量;ωr为机械角速度;B为粘滞阻尼系数;TL为负载转矩。

2 转矩前馈补偿控制的原理

转矩前馈补偿控制的原理是在PMSM矢量控制的基础上，针对电机“负载突变工况”找出突变的规律，在q轴电流iq中加入了一个前馈补偿量，以产生预期波形的电磁转矩，去抵消负载转矩的突变，从而降低电机的转速波动。转矩前馈补偿矢量控制系统框图如图1所示。

图1 永磁同步电机转矩前馈补偿控制系统框图

图1 矢量控制系统包括Clarke变换、Park变换、转子位置估算模块、速度环、电流环、转矩电流前馈补偿模块、Park逆变换、SVPWM计算、三相PWM逆变器、PMSM等部分。

在变频空调控制系统中，电流采样是通过电阻采样电路获得的，且只需要采集两相定子电流;通过Clarke变换和Park变换可以计算出实时的电流id和iq;id，iq用作d轴和q轴电流环的反馈分量;通过转子位置估算模块得到的转子位置角θr，并通过对转子位置角θr微分得到电机的转速ωr作为速度环反馈，速度环的输出为定子电流is;d轴和q轴电流环的输出是PMSM电压方程式(1)中的Ud，Uq;Ud，Uq通过Park逆变换计算出三相定子的输出电压，通过SVPWM计算功率模块中6个功率管导通的占空比，最后通过三相PWM逆变器驱动PMSM工作。

PMSM通常需要编码器来提供电机准确的位置和速度信号，但在变频空调器中PMSM处于密封环境，编码器的安装与维修非常困难，因此采用位置估算的方法，通过 d，q轴电压 Ud，Uq和电流 id，iq来估算电机的转子位置和电机转速［4］。

在图1的矢量控制d，q坐标系中，电流环输入id，iq的给定值可以用定子电流is和转矩角β表示:

转矩电流前馈补偿波形是根据负载突变的波形来定的，常用的方案有梯形波、正弦波、三角波等，本文采用的是正弦波补偿方案，即:

式中:iq_comp为转矩电流前馈补偿量;θq_comp为补偿角度;iq_Amp为补偿幅度;ωmec为机械角速度。压缩机负载变化与电机转子的机械位置密切相关，对应电机的每一个机械周期负载突变一次，因此式(6)中正弦波是按机械转角ωmect来计算的。补偿角度θq_comp与压缩机内部机械结构密切相关，在某一个速度下可以取一个固定的值，并随着压缩机转速的变化而稍有变化，θq_comp可根据具体的压缩机型号进行匹配。前馈补偿电流的幅值iq_Amp根据负载大小，即q轴电流iq的大小来确定。

为了后期深入研究转矩前馈补偿的最优控制规律，本文在MATLAB/Simulink平台上搭建了三相PMSM负载转矩前馈补偿控制策略的仿真模型。系统的负载转矩具有周期性突变的规律，压缩机厂家的负载特性曲线表在仿真模型中是通过采用m文件编程来实现的。

3 单转子压缩机中负载转矩突变的模拟

3． 1单转子压缩机中的负载转矩突变规律

在单转子压缩机驱动的变频空调中，永磁电机通过偏心曲轴带动滚子压缩冷媒的旋转过程中负载转矩突变，这种负载转矩突变具有以下特点:负载突变呈现周期性波动，对应永磁电机的每一个机械周期负载突变一次;负载变化与压缩机转子的机械位置密切相关;负载突变的幅值与空调的工况密切相关，随内部压力增大而增大;当转速越低时，入口和出口压力差值越大，这种转矩突变越厉害。图2是压缩机在3种不同工况下，在一个转子机械周期360°范围内的负载转矩突变波形。

从图2可以分析压缩机负载转矩的突变规律，(1)当变频空调的工况发生变化时，压缩机负载转矩的轮廓是基本相同的，负载转矩的波动随压缩机内部压力增大而增大，如图中所示轻负载时转矩在0～4．2 N·m之间变化，重负载时转矩波动增大到0～6．8 N·m之间变化。(2)在不同的工况下，最大负载转矩对应的转子机械角会有变化，如轻负载工况对应的机械角为245°，而重负载工况对应的机械角为230°。

3． 2 q轴电流随突变负载转矩的变化规律分析

在不考虑电机磁路饱和情况下，将式(2)代入式(3)，可得PMSM稳态运行时电磁转矩关于id，iq的表达式［5］:

式(7)中电磁转矩Tem包含了2项，第1项由iq单独产生，代表电机的同步转矩;第2项由id和iq共同产生，代表随电机的凸极性产生的磁阻转矩;同步转矩与磁阻转矩相加构成了电机的电磁转矩。

当采用“id=0”控制模式时，电磁转矩关于iq的表达式:

解析式(8)表明，在线性分析模型中，在通常负载转矩恒定的情况下，由于稳态运行时PMSM中永磁体磁链ψf是一个恒定值，“id=0”控制模式稳态运行工况电磁转矩Tem与iq成线性关系。但在实验中发现，当负载转矩波动时，电磁转矩Tem与iq的波形有很大的差异。为了进一步研究此时两者之间的关系，本文利用所搭建的三相PMSM仿真程序对不同转矩负载情况下的电机运行情况进行仿真分析。

压缩机中的永磁电机参数:极对数p=3;定子电阻Rs=1．7 Ω;定子直轴电感 Ld=8．9 mH;交轴电感Lq=12．7 mH;反电势系数 ke=0．046 8 V/(r·min－1);转子转动惯量 J=7．6 ×10－4kg·m2;设定机械转速为1 800 r/min。仿真计算中不考虑电机磁路的饱和效应，同时仿真模型对应于“id=0”控制模式。

图3为分别假设锯齿波、正弦波、矩形波3种突变负载，不加转矩前馈补偿的情况下仿真计算出q轴电流iq波形。图3表明，即使仿真计算中不考虑磁路饱和且令“id=0”，在负载转矩出现周期性波动时，电磁转矩Tem波形与q轴电流的波形也有很大差异，图3(a)锯齿形负载对应的iq仿真波形类似正弦负半波;图3(c)正弦形负载对应的iq仿真波形也是正弦波;图3(e)矩形波负载对应的iq仿真波形类似电容充电放电波形。

图3 不同突变负载对应的转矩和q轴电流仿真波形

分析此时电磁转矩与q轴电流波形相差很大的原因:

1)矢量控制理论［5］中假设PMSM的负载转矩恒定，电机进入到稳态运行时的转速也是恒定的，这时永磁体磁链ψf与d轴是重合的，得到d，q轴稳态磁链方程式(2)、电磁转矩方程式(3)，并进一步得到电磁转矩方程式(7)。当电机的负载转矩发生周期性波动时，电机的转速不再保持恒定，永磁体磁链ψf与d轴不再重合，两者之间会出现位置波动，这时式(2)、式(3)不再准确，表达电磁转矩与q轴电流关系的式(7)、式(8)也不准确。

2)虽然采用“id=0”控制模式，但在实际矢量控制系统中，d，q轴电流都是通过电流环来跟踪给定值的，d轴电流实际是在给定值“零”附近波动的，当负载转矩发生波动时，这种波动的幅度更大，因此式(7)中的第2项瞬时值不为零，这时不能从式(7)准确推导出式(8)。

因为电磁转矩不能简单的用q轴电流解析式(7)或式(8)来表达，不妨将它们表示为傅里叶级数形式来寻找两者之间的关联:

式中:iq0，TL0为q轴电流和负载转矩的直流分量;iq1，TL1分别为q轴电流和负载转矩基波分量的幅值;iqn，TLn分别为q轴电流和负载转矩高次谐波分量的幅值(n=1，2，3，…)。

图4为图3转矩和电流波形对应的谐波分析图。表1给出了q轴电流和负载转矩的直流分量、基波分量幅值、2次谐波分量幅值的具体数值。

图4 突变负载转矩和q轴电流的谐波分析

表1 负载转矩和q轴电流的谐波幅值

从图4和表1的数据可分析和总结出如下规律:

1)负载转矩直流分量、基波分量对应的q轴电流直流分量、基波分量比较大，且存在一个相对固定的比例系数，如表1中3种不同负载转矩对应的TL0/iq0都接近 0．36，TL1/iq1都接近 0．95(类似于恒转矩负载情况下PMSM的转矩系数)

2)q轴电流2次及以上谐波分量的衰减厉害，如图4(a)锯齿波负载转矩中2次谐波分量为0．74 N·m，而对应的q轴电流2次谐波分量只有0．46 A;图4(c)矩形波负载转矩中3次谐波分量为0．79 N·m，所对应的q轴电流3次谐波分量只有0．37 A。

3)对于不同的负载转矩波形，q轴电流中直流分量与基波分量幅值的比例有很大的差别。

4)综合上述规律，在后面验证仿真计算q轴电流波形与实测q轴电流波形的相似程度时，将主要考察直流分量、基波分量与2次谐波分量的幅值大小，以及直流分量与基波分量幅值的比例。

5)图4(b)由于转矩突变造成的电机转速不均匀，在用MATLAB工具对给定的理想正弦波负载转矩进行谐波分析时，会出现很小幅值的2次及以上转矩谐波。

3． 3负载模拟准确性的验证方法

本文对突变负载模拟准确性的验证方法是，先根据压缩机厂家提出的负载转矩波形，在不加转矩前馈补偿的情况下，仿真计算出q轴电流的波形;另一方面在矢量控制系统中实测的三相电流，然后通过Clarke，Park变换计算出实时的q轴电流波形。如果q轴电流的仿真波形与实测波形接近，则证明对突变负载的模拟是准确的。验证“波形接近”的量化标准如下:

1)变频空调在某一实际工况下运行，当系统达到稳定时，用D/A板实时采集q轴电流波形，用数字存储示波器记录q轴电流数据，然后用MATLAB对数据进行FFT分析，得到q轴电流的直流分量iq0(measure)，基波分量 iq1(measure)和 2次谐波分量iq2(measure)，并计算 iq0(measure)/iq1(measure)之值。

2)在图1的变频空调的PMSM仿真模型中，根据压缩机厂家提供的图3的负载特性曲线表采用m文件编程，构造仿真计算程序所需的突变负载模型。

3)运行仿真程序，记录电机进入稳态运行时的q轴电流仿真波形，同样用MATLAB对数据进行FFT分析，得到 q轴电流仿真波形的直流分量iq0(simulation)，基波分量 iq1(simulation)和 2次谐波分量iq2(simulation)，并计算 iq0(simulation)/iq1(simulation)之值。

4)如果 iq0，1，2(measure)与 iq0，1，2(simulation)幅值的差异在给定的误差范围内，iq0(measure)/iq1(measure)与iq0(simulation)/iq1(simulation)的差异在给定的误差范围内，则判定对突变负载的模拟是准确的;如果这几组数据的差异超出给定的误差范围，则判定突变负载的模拟是不准确的，需要压缩机厂家完善测试手段，重复步骤2)，修正m文件中的数据。允许误差范围，需要根据不同的电机系统来确定，这里我们设允许误差范围为10%。

5)将负载特性模拟的m文件数据应用于仿真模型中，用于前馈补偿控制策略的研究与优化。

4 仿真及实验结果分析

本文仿真及实验在一台海信变频空调产品上进行，空调室外机的压缩机控制系统主控CPU采用Infineon公司的XMC4200芯片，压缩机永磁电机的参数前面已经给出。变频空调在某工况下，输入220 V/50 Hz交流电，压缩机设定机械转速为1 800 r/min。

在未进行转矩补偿情况下，变频空调对应某一工况1 800 r/min运行的示波器实拍波形如图5所示，其中通道1对应q轴电流、通道2对应电机转速、通道4对应U相电流。图5中电机相电流实时波形由电流传感器测得，电机转速，q轴电流iq的实验波形是将矢量控制系统中的实时数据通过用D/A转换后输出后，用示波器抓拍获得的。

依据上面突变负载转矩波形模拟准确性验证方法，对q轴电流进行谐波分析，直流分量iq0(measure)为3.52 A、基波分量 iq1(measure)为0．68 A，二次谐波分量iq2(measure)为0．13 A。然后根据压缩机厂家提出的负载转矩波形，在不加转矩前馈补偿的情况下仿真计算出q轴电流的波形如图6(a)所示，对仿真计算出的q轴电流进行谐波分析，直流分量iq0(simulation)为4.06 A，基波分量iq1(simulation)为2．28 A，二次谐波分量iq2(simulation)为0．53 A。第一次负载转矩仿真计算值与实测值的直流分量和谐波分量有较大的差异，尤其是iq0/iq1(measure)=5．18 与 iq0/iq1(simulation)=1．78，两者误差为65．6%，大大超过允许值10%，证明这组负载模拟数据是不准确的。根据上述数据差异，压缩机厂家进一步完善测试手段，给出了修正后的压缩机负载曲线，如图6(b)所示，对相应的q轴电流波形进行谐波分析，得到直流分量 iq0(simulation)为 3．67 A、基波分量iq1(simulation)为0．73 A，二次谐波分量 iq2(simulation)为0．15 A，iq0(simulation)/iq1(simulation)=5．01，第 二 次 计 算 的iq0，1，2(simulation)与 iq0，1，2(measure)的误差都小于 10% ，第二次计算的iq0(simulation)/iq1(simulation)与iq0(measure)/iq1(measure)的误差为3．4%，小于允许值10%，这证明第二次对于负载转矩的模拟数据是准确的。3种情况下q轴电流谐波幅值数据如表2所示。

表2 q轴电流谐波幅值

针对图5中的相电流和电机转速实拍波形，图7给出了在修正之后的模拟负载对应的未进行转矩补偿情况下的相应的仿真波形，可以看出仿真波形与实拍波形是很相近的。图8为采用转矩前馈补偿的实验波形(各通道对应的波形与图5相同)，图9为采用转矩前馈补偿的仿真波形，这时仿真波形与实拍波形也很相近。

图5 未加转矩补偿的实拍波形(截图)

图6 模拟负载修正前后的波形对比

图7 未加转矩补偿时电机转速和相电流仿真波形

图8 加转矩补偿的实拍波形(截图)

图9 转矩修正后(加转矩补偿)仿真波形

通常在均匀负载的电机中，每个电气周期对应的相电流通常是均匀、对称的，但是当负载出现周期性突变时，如图5所示，一个机械周期中3个电气周期对应的相电流幅值和周期出现了明显的不均匀(电机为3对极)。在不进行转矩补偿情况下，图5中U相电流最大峰峰值约为8．4 A，最小值约为5 A;如果进行转矩前馈补偿，图8中U相电流最大值约为13．9 A，最小峰峰值约为1 A。变频空调在重负载工况进行转矩补偿，相电流峰峰值甚至超过了25 A。在加转矩补偿时，图9(b)的q轴电流仿真波形与图8中实拍波形轮廓相似、电流幅值也都接近10．7 A。

如图5中实拍速度波形和图7(a)仿真速度波形，在不进行转矩补偿情况下电机的速度波动约为150 r/min;加转矩补偿情况下，如图8中速度波形和图9(a)，速度降低至60 r/min。证明通过转矩前馈补偿控制，压缩机PMSM的速度波动得到了较大抑制。

几种情况下永磁电机的仿真波形与实测波形都相近，且通过仿真计算可以证明转矩补偿对速度波动进行了有效的抑制，这表明本文所提出的负载模拟方案、负载模拟准确性验证方法是正确的，为今后最优转矩补偿控制策略的研究奠定了基础。

5 结 语

本文针对一种PMSM负载重复突变工况，给出了突变负载的模拟和验证方法:

PMSM稳态运行时，由于负载转矩的突变，电磁转矩和q轴电流的波形有很大的差异。

运用谐波分析方法，研究了突变工况下q轴电流各次谐波随负载转矩的变化规律。

提出了通过q轴电流的仿真波形与实测波形对比来验证仿真模型中负载转矩模拟准确性的定量方法，即主要对比仿真与实测q轴电流的直流分量、基波及2次谐波分量幅值的方法。

仿真波形与实测波形相近，并且达到了对电机转速波动抑制的实际效果，证明本文所提出的负载转矩模拟及验证方法是正确的，为今后最优转矩补偿控制策略的研究奠定了基础。

除变频空调外，本文研究成果也可以应用于数控机床、机器人等领域的PMSM控制系统建模。参考文献

［1］ 王宗培，童怀．混合式步进电机稳态运行的同步仿真分析方法［J］．电工技术学报，1994，9(1):11 －15．

［2］ 童怀．磁阻电机动态特性的非线性分析与计算机仿真［M］．北京:科学出版社，2000．

［3］ 张猛，李永东，赵铁夫，等．一种减小变频空调压缩机低速范围内转速脉动的方法［J］．电工技术学报，2006，21(7):99－104．

［4］ 黄辉，马颖江，张有林，等．减小变频空调单转子压缩机低频转速波动的方法［J］．电机与控制学报，2011，15(3):98 －102．

［5］ Krishnan R著，柴凤等译，永磁无刷电机及其驱动技术［M］．北京:机械工业出版社，2012．