一类高考试题的转化和拓展

安徽省芜湖市繁昌县第一中学(241200) 鲍健

一类高考试题的转化和拓展

安徽省芜湖市繁昌县第一中学(241200) 鲍健

在高中数学中,错位相减法是用来推导等比数列前项和公式的方法,是数列求和的重要方法之一,也是高考考查的重点方法.

1 提出问题,引发思考

笔者研究近几年各省市的高考数列解答题发现,用错位相减法求数列的前项和的问题出现频率非常高.从下面所列举的部分高考试题,我们发现这些高考数列解答题第一问都是考查等差、等比这两种特殊数列的通项公式,第二问都是考查由等差等比对应项乘积构造新数列的前项和.

例题1(2016年山东省高考理科数学第18题)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.

(I)求数列{bn}的通项公式;

解析(I)因为数列{an}的前n项和Sn=3n+8n,所

例题4(2015年山东省高考理科数学第18题)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.

(I)求{an}的通项公式;

(II)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.以a1=11,当n≥2时,

所以Tn=−12+3·22(1−2n)+(3n+3)·2n+2=3n·2n+2.

例题2(2015年天津市高考理科数学第18题)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N∗,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.

(I)求q的值和{an}的通项公式;

例题3(2015年湖北省高考理科数学第18题)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.

(I)求数列{an},{bn}的通项公式;

(II)当d＞1时,记求数列{cn}的前n项和Tn.

2 探究问题,提炼结论

笔者认为,总结高中阶段利用错位相减法求数列的前n项和问题的特点,我们不难推出如下结论:若数列{an},{bn}分别是公差为d的等差数列和首项b1公比q(b≠0,q≠0)的等比数列,则求数列{anbn}的前n项和Sn可以用错位相减法.

3 转化问题,殊途同归

笔者在研究过程中发现,我们可借助于函数求导,可将上述结论中求数列{anbn}的前n项和问题转化为特定等比数列求和后关于公比q的导数问题,下面以证明上述结论为例来说明.对于①式我们有:

4 拓展问题,发现新知

笔者进一步思考:等差数列{an}的通项公式an=dn+a0(n∈N∗)是关于n的一次多项式(其中d是公差),若数列{an}的通项公式是关于n的最高次为m次的多项式,是否有类似的结论呢?