一种基于压缩感知与混沌系统的比特级图像加密方法

王厚林+李智

摘要：近年来受到了国内外学者广泛关注的压缩感知技术，在突破Nyquist采样理论的同时，为信息安全提供了一种新的加密机制。为了避免密钥过大和消耗问题，将混沌参数作为密钥，通过控制参数映射生成观测矩阵和加密控制矩阵。利用观测矩阵对原始图像在稀疏基进行观测，再用加密控制矩阵对观测值的比特面进行置乱。解密过程为置乱算法逆运算和压缩感知的重构算法。实验仿真表明，该方法具有良好的加密抗攻击特性，且能在加密图像的同时压缩数据。

关键词：压缩感知；混沌系统；图像加密；比特分解

中图分类号：TP309

文献标识码：A

文章编号：16727800（2017）004018803

0引言

随着多媒体技术的发展，数字图像由于形象生动、信息量大而成为一种重要的信息传播载体，在政治、经济、国防、教育和医疗等领域大量使用了数字图像技术。数字图像作为一种新的信息载体，和传统的文本信息相比有很大不同：①数据容量大；②相邻像素相关性强；③数据冗余量大。这些固有特性导致传统的加密算法不能有效加密图像[1]。 图像加密算法设计不仅要考虑算法的安全性和抗攻击性，还要考虑算法的计算量和算法实现的复杂度，要考虑算法的资源代价和计算时间代价。现有的加密算法经常将多种加密过程联合使用以提高加密系统的安全性，比如将数学变换和诸如混沌加密、混沌映射、像素置乱技术、相位恢复算法等技术结合的图像加密算法。比特级置乱可以同时改变像素值和像素位置， Xiang等提出了一种只加密像素高四位而保持低四位不变的选择图像加密算法；Wang 等用 Logistic 映射构造一个随机矩阵去控制置乱后的图像像素点在比特级循环移位。 压缩感知是一种新的信号采集理论，其在信号采集过程中即完成信号压缩。将压缩感知应用于图像加密领域可以同时完成图像压缩和图像加密，在恢复信号时必须知道压缩感知的测量矩阵才能有效恢复。压缩采样过程可看成是加密过程，而测量矩阵就是密钥。 本文在分析原有基于压缩感知的加密算法基础上，提出一种基于压缩感知和混沌系统的图像加密新算法。该算法将压缩感知的观测矩阵同传统的加密算法像素置乱和扩散矩阵结合起来，通过控制混沌系统的参数生成观测矩阵，利用观测矩阵的随机性质，设计像素的扩散置乱，生成相应的加密图片。实验仿真结果表明，该算法可完成一定的压缩工作，具有优秀的加密性能。

1相关理论

1.1压缩感知

压缩感知理论（Compressed sensing）是近年来提出并迅速发展的理论，它以信号的稀疏性为前提，能同时完成信号的压缩和采样，因其恢复算法需要已知观测矩阵，所以完成了信号的初步加密过程。过程如下：假设长度为N的一维实离散信号X∈RN，可以采用N×N维正交基矩阵，ψ=[ψ1，ψ2，...ψN]的线性组合表示为：

其中，ψi为ψ的列向量，αi為加权系数，能够对信号 x 进行压缩感知的前提条件是 x 具有稀疏性。如果α中有 K 个（K<

1.2Logistic 混沌系统

1963 年，科学家洛伦兹在研究大气流动问题时揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始值的极端敏感依赖性[12] 。混沌信号的遍历性、 类随机的噪声特性、 对初值的敏感性引起了密码学界的广泛关注。混沌信号的遍历性正好满足了Shannon 提出的密码系统设计的扩散基本原则，其类噪声的随机性特征符合传统密码学中密文是伪随机信号要求，而对初值的敏感性使得破译者无法得到所用混沌密钥流的种子密钥及其系统参数。Logistic映射是一种简单经典的混沌映射[13]，其序列为：

在一幅灰度图像中，每个像素值的取值范围是[0， 255]，它表示为一个 8位的二进制序列。BBD 可以将一幅灰度图像分解成 8 个二进制比特面，每个像素的二进制表示第i位共同组成了第i个比特面。

2加密算法

根据压缩感知和比特面置乱等特性，本文提出一种基于压缩感知的比特面置乱图像加密算法。该算法利用压缩感知的观测矩阵计算置乱的比特面和位置，既改变了像素的位置，又改变了像素的值，具有良好的加密特性。

2.1加密步骤

本文采用Logistic混沌系统生成压缩感知观测矩阵，加密步骤如下：（1）用key1（x0，u1）迭代Logistic混沌N0+3MN次， 为了避免影响，丢掉前 N0个元素并间隔两个值取一个值，得到的混沌序列中有 MN个元素X={x1，x2，...，xmn}。将序列转化为M×N矩阵，即为压缩感知观测矩阵P。M的取值可以通过压缩比调节。（2）用测量矩阵P 对明文图像I压缩采样，测量值为 Y，Y=PI，并将Y均匀化，取值范围为[0，255]。将观测矩阵P量化到[0，255]内的P′，量化公式为：

（3）将测量值Y做BBD分解随机分成两个组，本文采奇偶数分组。按照控制交换表CT和位置表XT和YT进行从上到下、从左到右的像素置乱：

2.2解密过程

解密过程为加密过程的逆过程，用密文图像异或P′进行BBD分解，按奇偶位分组，根据公式从右到左、从下到上交换分组。交换后新组合为图像Y，利用DCT稀疏基和OMP 算法 [15]进行压缩感知重构得到明文图像I。

3仿真分析

为了验证算法的有效性，取密钥key（x0，u0）=（0.023 425 234 6，3.923 456 789 2）构建观测矩阵，加密图像，取压缩比为2：3，测试图像为256×256的灰度图片brain，测试结果如图1所示。从图1可以看出，本加密算法能同时完成图像的加密和压缩工作，且效果较好。

3.1直方图分析

直方图分析可以评价加密算法抵抗统计分析的能力，从图2可以看出，各原始明文图像与加密图像直方分布截然不同，可以很好地抵抗统计攻击。

3.2相关性分析

明文图像携带有效信息，会在水平方向、垂直方向、对角线方向上具有高度相关性。一个好的加密算法能使像素间相关性很高的明文图像在加密后相关性变得很低。表1是从brain图像及其相应密文图像的水平、垂直对角方向上分别随机选取 2000 对相邻像素做的测试结果。

显然，图像brian在加密前相关性很高，但是经过加密后3个方向的相关性下降很多，证明本加密算法能有效置乱像素。

3.3解密图像性噪比分析

本算法能同时进行加密和压缩工作，在压缩图像的同时会造成部分噪声，在此用峰值信噪比（PSNR）评价算法的压缩性能，公式如下：

其中R（i，j）是解密重构的图像，I（i，j）是原图像。 表2为图像brain在不同压缩比下的加密解密结果，从表2可以看出，压缩比越低，所恢复解密图像的信噪比越高，图像质量越好。

4结语

本文提出了一种基于压缩感知和混沌系统的比特级加密算法，将压缩感知的观测矩阵同加密算法的随机置乱矩阵绑定，能在加密图像的同时完成图像的压缩工作。算法中观测矩阵采用Logistic混沌映射构造，具有优秀的密钥敏感性。实验证明，该算法具有较优秀的加密特性。

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（責任编辑：杜能钢）