NQD随机样本经验分布函数列的收敛性

梁 琼

(广州工商学院，广州 510850)



NQD随机样本经验分布函数列的收敛性

梁 琼

(广州工商学院，广州 510850)

证明了同分布NQD序列下经验分布函数的依概率收敛和几乎处处收敛的性质，得到了与iid完全相同的结果.

两两NQD列;经验分布函数;依概率收敛;几乎处处收敛

1 定义和引理

两两NQD(Negatively Quadrant Dependent)列的概念是由著名的统计学家Lehmann[1]提出来的.它是有浓厚的统计背景且十分广泛的随机变量列，文献[2]中讨论了两两 NQD 列的Marcinkiewicz型弱大数律及Jamison型加权和的强稳定性，文献[3]中推广了Matula[4]的结果得到了更一般的两两NQD列的Kolmogorov型强大数律.文献[5-9]研究了两两NQD列的极限定理、收敛性及完全收敛性.经验分布函数是数理统计中样本估计总体常用到的函数，在独立同分布样本下具有良好的收敛性，本文利用以上成果讨论了经验分布函数在NQD样本下的收敛性，得到了两个与独立样本下相同的收敛定理.

定义1[1]称随机变量X和Y是NQD的,若对任意实数x和y都有：

P(X

称随机变量列{Xn,n≥1}是两两NQD列.若对任何i≠j,i,j=1,2,…,Xi与Xj都是NQD的.和独立样本类似给出在NQD样本下的经验分布函数列的定义.

则称Fn(x)为X的经验分布函数，称随机变量列{Fn(x),n≥1}为经验分布函数列.

引理1[4]设1≤p<2,αp≥1或p=2,αp≥1，{Xn,n≥1}为同分布两两NQD列且满足条件：

特别地,若1≤p<2,αp=1，则：

(1)

引理2[4]设{Xn,n≥1}是两两NQD列，对任意n≥1,var(Xn)<∞,{an,n≥1}是非减的且趋于无穷的正实数序列，若满足：

2 定理和证明

证明 (i)设Yn=I(Xn≤x),n=1,2,…,则{Yn,n≥1}也是两两NQD列.事实上：由Yn的定义可知，其服从两点分布，且当n=1,2,…，时有：

P(Yn=0)=P(Xn>x)=1-F(x),P(Yn=1)=P(Xn≤x)=F(x)

(2)

由定义1知，需要证明∀(x,y)∈R2，∀i,j=1,2,…,下面不等式成立：

P(Yi

(3)

不难看出如果事件Yi

现分块进行讨论：

当y≤0时，Yi

当y>1时，Yi

当0

当01时，Yj

当0

(0,0)→Yi

由式(2)得：E|Y1|=0×(1-F(x))+1×F(x)=F(x)<+∞

知{Yn,n≥1}满足引理1在p=α=1时的条件，于是由引理1有：

证明 设Yn=I(Xn≤x)，n=1,2,…,由定理1的证明(i)知:{Yn,n≥1}也是两两NQD列，当n=1,2,…时，P(Yn=0)=P(Xn>x)=1-F(x),P(Yn=1)=P(Xn≤x)=F(x),

所以EYn=F(x),varYn=F(x)(1-F(x))，

E|Yn-EYn|=E|Yn-F(x)|=F(x)(1-F(x))+(1-F(x))F(x)=2F(x)(1-F(x))

于是在引理2中，取a1=a2=…=n，显然{n,n≥1}是非减的且趋于无穷的正实数序列，且满足：

[1] LEHMANN E L.Some concepts of dependent[J].Ann Math Statist, 1966, 43:1137-1153.

[2] 王岳宝,苏淳,刘许国.关于两两NQD列的若干极限性质[J].应用数学学报, 1998,21(3):404-414.

[3] 陈平炎.两两NQD列的强大数定理[J].数学物理学报,2005,25A(3):386-392.

[4] MATULA P.A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables[J].Statist Probab Lett, 1992,15(3):209-213.

[5] 许敏,陈平炎.非负NQD随机变量序列的逆矩[J].数学学报，2012,55(2)：201-206.

[6] 宋明珠; 吴永锋.两两NQD列的极限定理[J].工程数学学报，2017,34(1):38-46

[7] 韩家俊.关于经典强大数定律的一点注记[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2007,24(2):116-118.

[8] 王宽程.两两NQD随机序列的完全收敛性[J].延边大学学报(自然科学版),2015,41(4):292-294.

[9] 吴群英.两两NQD列的收敛性质[J].2002,45(3):617-624.

责任编辑：时 凌

Convergence of the Empirical Distribution Function under NQD Sequences

LIANG Qiong

(Guangzhou College of Technology and Business,Guangzhou 510850,China)

This paper demonstrates the properties of the empirical distribution function′s convergence in probability and almost sure convergence under NQD sequences. This result is the same as that of the iid.

pairwise NQD sequences; empirical distribution function; convergence in probability; almost sure convergence

2017-04-17.

梁琼(1959-)，女，副教授，主要从事概率论极限理论的研究.

1008-8423(2017)02-0157-02

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.06.010

O221.4

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