飞机飞行动力学仿真气动导数求解插值算法对比

张玉镇,张志春,陈 蕾,向英杰

(空军航空大学,吉林 长春 130022)



飞机飞行动力学仿真气动导数求解插值算法对比

张玉镇,张志春,陈 蕾,向英杰

(空军航空大学,吉林 长春 130022)

影响飞行仿真系统实时性和逼真度的重要因素之一,是在力与力矩模块求解中的气动导数求解。气动导数作为飞行动力学仿真模型计算的输入量,其求解运算的精度和效率,将在很大程度上影响着仿真系统的成败。在飞行仿真中,常用的插值算法有线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值。针对这四种插值算法,首先从数学原理上进行初步分析,然后根据风洞实验获取的一组原始气动数据,利用Matlab进行插值实验对比,进一步从四种算法的运算时间、精度上比较分析,最后总结出四种算法的特点。

飞行仿真;线性插值;拉格朗日插值;牛顿插值;三次样条插值

在飞行仿真系统中,气动导数作为力与力矩模块的输入量,其求解的精确、高效与否,将直接决定仿真结果的逼真性和实时性[1]。原始气动数据一般是从风洞实验、空中试飞实验、CFD等途径获取。由于实验条件的限制,所获得的气动导数不能包含整个飞行包线内的所有数据,而在飞行器实时仿真中,需要获得飞机全状态下的气动导数。通常,气动导数作为因变量,而马赫数M、高度H、升降舵偏角、方向舵偏角、襟翼偏角等与之相对应作为自变量,一并以数据表格或矩阵的形式列出。由于这些原始数据组都是在某一瞬时状态下采集得到,具有离散性、不完整性,同时,因变量与自变量之间大多呈现非线性的关系[2]。

在对原始数据的处理中,一般采用插值算法得到气动导数。飞行器建模仿真中,常用的插值算法有线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值和三次样条插值,不同的插值算法有不同的运算效率和精度,插值效果的好坏,直接影响飞行仿真系统的实时性和逼真度[3]。针对这四种插值算法,本文首先从数学原理上进行初步分析,然后根据风洞实验获取的一组原始气动数据,利用Matlab进行插值仿真实验上,做进一步比较分析。

1 算法原理分析

1.1 拉格朗日插值与线性插值

1.1.1 拉格朗日插值与线性插值的数学描述

对n次多项式lj(xk)(j=0,1,…,n)在n+1个节点x0

现拟,

(1)

其中Aj为待定系数,由lj(xj)=1，得

(2)

因此有n次插值多项式:

k=0,1,…n

(3)

对应每个结点xj(j=0,1,…,n),都能写出一个满足插值条件的n次插值多项式。

于是,满足条件Ln(xj)=yj,j=0,1,…,n的插值多项式Ln(xj)可表示为

(4)

则插值多项式Ln(x)称为拉格朗日插值多项式[4]。

线性插值是拉格朗日插值多项式的一种特殊形式,即为当n=1时拉格朗日插值[5]。即,

(5)

1.1.2 拉格朗日插值与线性插值的特点分析

拉格朗日插值算法是经过有两个插值点、三个插值点到n个插值点类推得到,在形式上较整齐、直观,但当需要增加插值节点时,计算需要重头开始,重新计算所有的插值基函数,这样就会导致消耗大量内存,占用更多计算时间,在飞行模拟器实时仿真中,内存占用太多、运算时间过长都不能保证仿真系统的实时性要求。而线性插值作为拉格朗日插值的特殊形式,利用临近两点进行插值计算,计算量小,形式简单,易于运行程序的编写,但由于插值只用到了相邻两插值节点,存在偶然性误差。另外,当自变量与因变量直接不是线性关系时,可能导致误差较大。

1.2 牛顿插值

1.2.1 牛顿插值的数学描述

将形如

Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)

+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(6)

的插值多项式称为牛顿插值多项式[6]。

借助均差定义, 以此类推,可以得到:

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+

f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+

f[x0,x1,…xn](x-x0)(x-xn-1)

(7)

则Pn(x)称为牛顿插值法的基本形式。

在实际应用中,常出现插值节点为等距节点的情况,由此引入牛顿前插公式和牛顿后插公式。令xk=x0+kh(k=0,1,…,n),h为步长,此时,上述公式可以简化得到：

牛顿前插公式:

(8)

其余项为:

牛顿后插公式:

Pn(x0+th)=f0+t2f0+…+

(9)

其余项为

1.2.2 牛顿插值的特点分析

牛顿插值以均差为构造基础,利用均差与节点排列次序无关,相比拉格朗日插值,大大减少了计算量,提高了计算精度。同时,在添加或更新节点时,牛顿插值具有承袭性[7]。随着计算机运算能力大大提高,插值过程中计算差商公式相对复杂的问题已得到妥善解决[8]。但当节点存在于前半段或后半段时,利用牛顿前插或后插公式,都会存在得不到结果或精度不高的问题,在使用过程中,应当灵活运用。

1.3 三次样条插值

1.3.1 三次样条插值的数学描述

假设函数S(x)∈C2[a,b],且在每个小区间[xj,xj+1]上是三次多项式,其中a=x0

S(xj)=yj,j=0,1,…,n

(10)

则称S(x)为三次样条插值函数。

利用S(x)的二阶导数值,S″(xj)=Mj(j=0,1,…,n)表示S(x)，则

j=0,1,…,n-1

(11)

由于S(x)在每个小区间[xj,xj+1]上满足三次多项式,每个三次多项式包含4个未知参数,所以一共要确定4n个参数[9]。按照S(x)在[a,b]上二阶导数连续的性质,以及在节点xj处一阶、二阶导数连续的性质,能够提供3n-3个条件,另外,S(x)满足插值条件,这样一共就有4n-2个条件。但是要最终确定S(x),还要2个边界条件。

通常可在区间[a,b]的端点a=x0,b=xn上各加一个边界条件。常见的有以下三种:

2)已知两端的二阶导数值,即S″(x0)=f″0,S″(xn)=f″n;

3)自然边界条件,S″(x0)=S″(xn)=0。

将以上所得4n个方程联立求解出Mj(j=0,1,…,n),插值函数S(x)即可确定。最后将插值自变量x*代入S(x)即为相应的插值结果。

1.3.2 三次样条插值的特点分析

三次样条插值把插值区间分成若干个插值小区间,每个小区间满足三次多项式,当插值节点逐渐增多时,其插值函数的收敛性和稳定性逐渐增强,函数曲线在节点处的光滑度更高[10]。三次样条插值相比拉格朗日插值和牛顿插值,其插值次数较少,误差也小,且在计算传递过程中误差会出现衰退现象。样条曲线在节点处具有平滑作用,有效提高计算精度,避免了拉格朗日插值中出现的“龙格”现象。

2 四种插值算法的实验比较分析

本文首先从理论上对四种插值算法基本原理及数学描述进行分析,描述了各自的特点,并通过设计实验验证,比较分析四种插值算法的特点。

2.1 实验设计

本文选取一组某型飞机通过风洞实验获取的升力系数CL与迎角α的相关数据为样本,将样本数据随机分为甲、乙两组,甲组作为原始数据,甲、乙两组均作为实验数据,分别使用线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值和三次样条插值对样本数据进行了插值计算。作进一步比较,分别从计算速度、精度和运行所占内存三个方面出发,通过1000次独立实验计算结果的比较,分析四种插值算法的实时性和精确度，最终获得实验结论。

2.2 实验数据

通过风洞实验,以襟翼偏角为20°时,气流速度V=380km/h,其它自变量保持不变的情况下,获取一组某型飞机的升力系数CL与迎角α的样本数据。样本数据均匀分成甲、乙两组,如表1所示。

2.3 实验条件

根据所获得的实验数据,利用Matlab软件在计算机上完成实验过程。

2.4 实验步骤

步骤一:将风洞实验所获取的一组某型飞机升力系数CL与迎角α的相关测试数据为样本,分别使用线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值和三次样条插值对样本数据进行了插值计算,所得关系曲线如图1所示。

表1 样本数据

图1 四种插值算法计算结果

步骤二:由于飞行器仿真讲究实时性,选择快速有效的插值算法将决定仿真的实时性和逼真度。为进一步比较,通过1000次独立实验计算结果的比较,分别从计算速度和精度两方面出发,分析四种插值算法的实时性和精确度,结果如表2所示。

2.5 实验结果分析

从图1中可以看出,拉格朗日法在样本区间边界处出现了明显的“龙格”现象,产生较大偏差,而线性插值、牛顿插值和三次样条插值得到结果基本与原始数据吻合,并且克服了“龙格”现象;在样本区间中,当α∈[10,15]和[25,30]时,升力系数CL与迎角α呈现明显的非线性关系和明显的“尖点”现象,此时线性插值结果精度难以保证;牛顿插值有效解决了拉格朗日插值在端点出的不收敛性,但针对节点处有尖点、不光滑的现象只是有所改善,效果并不是很理想;三次样条插值所构造的插值曲线非常光滑,不仅能够有效解决拉格朗日插值造成的“龙格”现象,而且提高了牛顿插值在节点处所不能达到的光滑性。

表2 四种插值算法计算时间和精度对比

从表2中可以得到:线性插值的平均计算时间最低,实时性最高,而且误差也相对较小;拉格朗日插值平均计算时间最长,实时性最差,而且误差最大,也就是出现“龙格”现象;牛顿插值法无论在计算时间上,还是在误差上都比较适中,能够一定程度上改进拉格朗日插值产生的“龙格”现象,而且在计算时间上优于三次样条插值;三次样条插值计算误差最小,精确度很高,平均计算时间也相对适中,因此,从计算时间和计算精度上综合考虑,三次样条插值相比其他三种插值算法更具有优越性。

3 结束语

本文通过介绍四种插值算法的建模思想,分别从数学理论和实验设计比较分析上,总结了四种插值算法运用在飞行器建模仿真应用中的优缺点。总的来说：线性插值方法简单,计算速度快,软件实现容易,但当因变量与自变量存在非线性关系时,计算精度将无法保证;拉格朗日插值在计算精度和速度上都不高,误差比较大,满足不了飞行器实时仿真的要求;牛顿插值能够在一定程度上改进拉格朗日插值的不足,但在计算精度上却与三次样条插值相差甚远;三次样条插值虽然在实时性上不如线性插值,但已经能够满足飞行器仿真的实时性要求。飞行器建模仿真中,在保证实时性要求的前提下,计算精度越高,越能够逼真模拟飞行状态。因此,三次样条插值更能够满足飞行建模仿真的实时性和逼真度要求。

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Comparison of Several Interpolation Algorithms in Flight Simulation

ZHANG Yu-zhen, ZHANG Zhi-chun, CHEN Lei, XIANG Ying-jie

(Aviation University of Air Force, Changchun 130022, China)

One of the most important factors that affect the real-time performance and fidelity of flight simulation system is to solve the aerodynamic derivatives of the force and torque module. As the input of the simulation model, the accuracy and efficiency of the calculation of aerodynamic derivatives will affect the success or failure of the simulation system to a great extent. In flight simulation, the commonly used interpolation algorithms are linear interpolation, Lagrange interpolation, Newton interpolation, three spline interpolation. In this paper the four kinds of interpolation algorithm, firstly analyzed from the mathematical principle, and dynamic data according to a set of raw gas obtained by wind tunnel experiment, compares the interpolation by MATLAB, further from four kinds of algorithm, the accuracy of comparative analysis, finally summed up the characteristics of four algorithms.

flight simulation;linear interpolation;Lagrange interpolation;Newton interpolation; Three spline interpolation

2017-01-04

张玉镇(1992-),男,汉,安徽宿州人,硕士研究生,研究方向为飞行器仿真。 张志春(1973-)，男，硕士，高级工程师。 陈 蕾(1967-)，女，博士，教授。 向英杰(1993-)，男，硕士研究生。

1673-3819(2017)03-0070-04

TP391；E917

A

10.3969/j.issn.1673-3819.2017.03.016

修回日期： 2017-02-19