聚焦数列热点题型

■浙江省杭州市萧山区第三高级中学 陈建华

聚焦数列热点题型

■浙江省杭州市萧山区第三高级中学 陈建华

数列是数学高考的重点内容,高考对数列的考查非常全面,既有对等差数列、等比数列的定义以及性质的考查,又有对数列与指数函数、对数函数和不等式的综合考查,还把极限思想和数学归纳法融入等差数列、等比数列中进行考查。新课标高考关于数列考点的命题,主要有以下几个方面：(1)对数列有关定义,等差数列、等比数列基本性质,基本运算的考查,常以选择题、填空题的形式出现,属容易题;(2)由简单递推式求数列的通项公式,进而求数列的前n项和,考查化归思想与几种常见数列求和类型的熟练程度,常以解答题形式出现,属中档题;(3)数列与其他知识的结合,有数列与函数、方程、不等式、解析几何的结合,以压轴题形式出现,其中以数列与函数、不等式的综合最为常见。

考点一 等差、等比数列的判定

例1 (2 0 1 5届银川一中高三第三次月考)已知数列的首项是等比数列。解析：因为

考点二 等差、等比数列的基本运算与性质的运用

例2 (2 0 1 5届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试)记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=9,a3,a5,a8成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式an及Sn。

解析：①根据已知条件可求出等差数列的首项与公差,从而求得an和Sn。

②若数列cn{}为单调递减数列,则cn+1N*恒成立,由此得λ的取值范围。

(1)由S3=9,a25=a3·a8,得：

解得a1=2,d=1。

若cn{}为单调递减数列,则：

N*恒成立。

考点三 数列通项公式的求法

例3 设数列an{}为等差数列,且a5=1 4,a7=2 0,数列bn{}的前n项和为Sn=2n-1(n∈N*),求数列an{},bn{}的通项公式。

解析：根据已知条件求出公差,然后利用通项公式求出an,同时借助于数列的前n项和求出bn。

因为数列an{}为等差数列,则a7-a5= 2d=6,故d=3。

所以an=a5+(n-5)d=1 4+(n-5)× 3=3n-1。由Sn=2n-1,得Sn-1=2n-1-1, n≥2,两式相减得bn=2n-1(n≥2)。又b1= S1=1,也满足上式,因此bn=2n-1。

考点四 数列的求和

例4 (2 0 1 5届浙江省温州十校高三上学期期中联考)已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,a3=7,其前n项和为Sn, {bn} 为等比数列,b1=2,且b2S2=3 2。

(1)求an与bn;

解析：①直接由已知求得等差数列的公差,代入等差数列的通项公式求解,再由b2S2=3 2求得等比数列的公比,进而求等比数列的通项公式;②求出等差数列的前n项和,然后由裂项相消法求得,问题等价于f(x)=x2+ a x+1的最小值大于或等于,由此式求得a的取值范围。

(1)设an{}的公差为d,且d＞0,bn{}的公比为q,则an=3+(n-1)d,bn=2qn-1。

由题意知a3=3+2d=7。

S2b2=(6+d)·2q=3 2。

所以an=2n+1,bn=2n。

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+ 2),则

问题等价于f(x)=x2+a x+1的最小值大于或等于

点评：在数列裂项求和时,只需考虑分母的结构,只要分母可以分成同一数列的相邻两项,就可以裂项,而分子只起到平衡等式的作用。

(责任编辑 徐利杰)