柯西不等式的多角度探索

河南省新蔡县第一高级中学 (463500) 李居之

柯西不等式的多角度探索

河南省新蔡县第一高级中学 (463500) 李居之

柯西不等式作为高中数学选修模块的内容，在解答一些不等式问题时，起到了举足轻重的作用.本文就从柯西不等式的角度去审视一些最值问题，供教师教学参考，加深学生对柯西不等式的理解.

例1 若等差数列{an}满足a21+a23=2，则a3+a4+a5的最大值为 .

这里给出两种解法.设此等差数列{an}的公差为d.

联想等差中项的性质，注意到3a3-a1=a3+2a3-a1=a3+a1+a5-a1=2a4，于是，又得到了一种更简易的解法.

上式两种解法都利用到了柯西不等式，且法二更令人耐人寻味，值得细细揣摩，是一道不可多得的好题.

此题原法是数形结合找切线的斜率，但注意到(x1-x2)2+(y1-y2)2这种形式与柯西不等式类似，经过探究给出了新法.

此题的解法很多，但都需数形结合.基于柯西不等式将其化为代数问题，这种思路虽然一时难以想象，但更能加深学生对柯西不等式的理解，不失为一种好方法.

例4 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最小值为 .

例5 在平面直角坐标系中，设点P(x0,y0)到直线3x-4y-10=0与x=3的距离分别为d1、d2，若点P在单位圆x2+y2=1上运动，则5d1-d2的最大值为 .

解：因5d1-d2=|3x0-4y0-10|-|x0-3|≤

通过绝对值不等式的性质，再利用柯西不等式，降低了此题的难度；不过这需要判断两绝对值式子的符号，本文直接略去，读者可去尝试判断正负号，受到其中的启发.

此题是江苏的一道竞赛题，其解法较多，利用对称性x=y是本题的最优解法，但通过柯西不等式将x+y的值逼近出来，可能是试题的命题意向.

华罗庚说：“新的数学方法和概念常常比解决问题本身更重要.”运用柯西不等式需要一定的技巧性，不难掌握，容易理解，在解题过程中，是比较实用的方法.