借图形计算器之巧探反比例函数之妙

潘正标　王晓峰

[摘 要] 在常态课教学中嵌入数学实验片段，并借助图形计算器展开实验探究. 以观察、猜想、验证、推理为活动主线，为学生创设合作、交流、展示、思辨等契机和平台，感受知识发生和生长的完整过程，促进学生形成探究的策略和能力.

[关键词] 数学实验；反比例函数；图形计算器；课堂简录

背景介绍

苏州工业园区星洲学校作为江苏省初中数学实验联盟学校，于 2016年12月12日承办了“江苏省第六届初中数学实验教学专题研讨会暨数学实验创新方案设计表彰会”. 笔者有幸开设了一节数学实验公开课，尝试在常态课中嵌入实验片段，并借助图形计算器展开实验探究，同时将苏科版《数学实验手册》八年级下册“实验13 验证反比例函数图像的对称性”作为本节课教学内容的延伸，在教学内容上进行了整合.

教学内容

苏科版《义务教育教科书·数学》八年级下册“11.2 反比例函数的图像与性质”.

教学过程简录

（一）知识回顾，提出问题

师：同学们，最近我们接触了一类新函数——反比例函数，为了更好地对它展开探究，我们先来回顾一下之前研究一次函数时，研究的主要方向和方法.

（课件演示，师生交流略）

1. 回顾

（1）请你分别指出下列一次函数的大致图像.

（2）以一次函数y=-2x+1为例，你能说说它的图像与性质吗？

交流小结：由这个表达式我们可以知道它的图像、分布、走势、增减性、与坐标轴交点的坐标. 通过对一次函数表达式和图像的研究，我们既可以由数的关系想到形的特征，也可借助形的直观理解数的特性，就好像是在数和形之间架起了一道无形的桥梁.

（板书：图像、分布、走势、增减性、交点、数——形）

2. 问题

反比例函数y=（k≠0）的图像是怎样的，它又具有哪些性质呢？

师：我们不妨先来研究一个具体的反比例函数y=.

（二）合作探究，形成新知

活动一：猜想验证，获得发现

（课件演示）

1. 分析猜想

通过分析反比例函数y=中x，y的取值范围及相互关系，你能猜想出反比例函数y=图像的某些特征吗？

生1：因为x，y同号，所以图像分布在第一、三象限.

生2：因为x，y的取值都不能为0，所以我判断图像与坐标轴没有交点.

生3：因为x，y的取值都不能为0，我猜测图像是断开的（其他同学投来怀疑或赞许的目光）.

生4：因为y随x的的增大而减小，所以我猜测图像从左至右呈下降趋势（此处学生的回答虽然有误，笔者并未指出，为后面的“化错教学”留下伏笔）.

师：刚才几个同学做了分析、给出了猜想，说得蛮好的，但实际情况是这样的吗？咱們得验证一下.

2. 操作验证

（1）利用网格纸尝试画图

师：对于一个刚接触的新函数，你打算如何画出它的图像？

生4：列表、描点、连线.

师：操作过程中，有需要注意的地方吗？

生4：列表时，数据多取一些，最好是正、负数都取，连线要平滑.

师：对！因为对它的图像不了解，所以我们尽量多取一些有代表性的数据. 接下来请大家拿出操作用纸，按PPT上的要求展开操作和探究.

（课件演示）

利用网格纸尝试画出反比例函数y=的图像. 先组内交流研讨，再班级展示交流，分享发现与收获，提出猜想和疑问.

（请两名同学，利用黑板上的网格，尝试画图；学生画图、讨论，教师巡视指导，大约5分钟后）

师：接下来我们请一个小组来分享一下他们的探究过程（实物投影）.

生5：起初我们四个人画得都不一样（实物投影分别展示图1、图2、图3、图4），通过我们刚才激烈的讨论，我们觉得第4幅图画得比较好，不但数据取得比较多、比较匀称，而且连线也比较平滑.

师：分歧比较大的是哪一个？

生5：（微笑）图3，张凯同学觉得参考一次函数的画图，点与点顺次用直尺连接，而我们根据这些点的分布和走势，推断图像应该是弯的.

师：谢谢你们的分享，还有哪个小组再来分享一下？（实物投影）

生6：这是我们组画的4幅图（实物投影分别展示图5、图6、图7、图8），我们觉得这两幅图不太正确，这幅图（图5）的线条不应该往里弯（呈“C”型），以这一支为例（第一象限），当x增大时y在减小，所以图像应该慢慢接近x轴，当x减小时y在增大，所以图像应该慢慢靠近y轴.

师：如果这样延伸下去，图像会如图7那样，与坐标轴在远处相交吗？

生6：不会，因为x，y都不可能为0，所以图像与坐标轴也就不会有交点了，它只能无限接近坐标轴.

师：说得很有道理！还有一幅图又是怎样的情况呢？

生6：这个图像（图6）我们还有点分歧，李华觉得就应该是这样的“折线图”.

师：那你们的观点呢？

生6：我们觉得不对，但是不知道如何解释，这也是我们小组的困惑.

师：好的！你先回座位，我们来看看其他小组有没有解决这个问题的方案，哪个小组来试一试？

生7：我们做了一个尝试，先假设两点之间的连线是直的，我们可以求出这个一次函数的表达式，然后在两点之间又取了一组x，y值，发现这组数据并不符合之前求得的一次函数，说明两点之间用直尺连接是不对的.

师：这个方法挺好的！我们一起为这个小组的同学鼓鼓掌（众生面露惊讶、兴奋，并鼓掌）.

生8：我们还有更好的方法（兴奋得主动站了起来）！

师：哦？说说看……

生8：我觉得如果再多取一些点的话就看出来了.

师：怎么取？取多少？

生8：在1和2之间再取9个x值，例如：1.1，1.2，1.3……这样描点就会更密，图像的实际情况就能看出来了.

师：这个方法好，点取得越多、越密，越能看出图像的“庐山真面目”. 但是，人工操作不仅费时、费力，有时还难以画准. 下面，请同学们拿出我们的“法宝”——HP图形计算器，类比探究一次函数图像时的操作方法展开探究.

（2）利用图形计算器展开验证（课件演示）

数学实验室：利用图形计算器“双变量”点加密功能或“几何学”点追踪功能完成实验验证，并分享操作过程与实验结果.

【功能介绍】

①“双变量”點加密：可以根据画图需要进行批量的取值、描点.

②“几何学”点追踪：设定变量的取值范围、单位长度，描出符合函数表达式的动点，并绘制点运动留下的轨迹.

③图形计算器与电脑之间可以建立独立网络，实现将所有学生的图形计算器操作过程投射到一体机显示屏，实现师生之间、学生之间的实时互动与展示.

（学生操作、讨论，教师查看一体机屏幕，实时了解学生操作情况，大约3分钟后）

师：谁来说说你用的是什么功能？通过操作你有什么发现？

生9：我的计算器是16号（教师调出16号计算机虚拟屏幕，如图9），我用的是“双变量”功能，通过操作我发现当点画得很多的时候，图像的确是弯的，但是有的地方点比较密，有的地方点比较稀疏.

生10：我的计算器是22号（教师调出22号计算机虚拟屏幕，如图10）我用的也是“双变量”功能，我的步长取得比较小，所以点特别密，我发现反比例函数y=的图像是两支弯弯的曲线，并不是折线.

生11：我的计算器是19号（教师调出19号计算机虚拟屏幕，如图11）我用的是“点追踪”功能，通过操作我发现这些点运动后留下的痕迹是两支弯弯的曲线.

师：刚才三位同学分享了他们的操作方法及发现，老师这边也利用“点追踪”功能，分象限绘制了函数y=的局部图像（如图12），而且我还标注了两个动点的坐标.

设计意图 利用图形计算器“双变量”点加密功能和“几何学”点追踪功能展开探究，既是对前面“网格纸画函数图像”产生质疑的验证，同时通过点的动态展示以及动点坐标的标注，可以更好地让学生感受点与线、局部与整体的内在联系. 在展示一个点、无数个点、一条线，一组数、无数组数的变化过程中，让学生在潜移默化中感知图像的形成，发现函数的性质.

3. 优化归纳

师：通过刚才的尝试画图、操作验证，我们发现反比例函数的图像的确是两支平滑的曲线，我们称之为“双曲线”. 其实，数学家们早已做了大量的实践与研究，验证了反比例函数图像是双曲线这一事实.

（操作：教师利用图形计算器绘制函数图像功能画出y=的完整图像，如图13）

师：下面请按这里的提示，优化一下表格和图像.

（课件演示）

（1）优化表格和图像

一般取8至10组数值，从小到大，正负数对称，表格首尾用省略号代替；描点准确、清晰；连线要力求平滑，体现趋势和延伸性.

（学生板演、其他学生同步，教师巡视指导，小结并优化学生板演内容）

（课件演示）

（2）参考画图过程，观察表格和图像，试着归纳反比例函数y=的图像和性质.

生12：图像分布在第一、三象限，图像与坐标轴没有交点，图像的走势向下.

师：哪一支？

生12：两支都是.

师：它们是完全独立的两支，我们分象限来描述它的走势比较合理. 第一象限内的这支图像从左向右，呈下降趋势，第三象限内的这支图像从左向右，也呈下降趋势.

师：这位同学给我们描述了图像的分布和走势，说得很棒！其他同学还有需要补充的吗？

生13：y随x的增大而减小.

师：之前在分析反比例函数y=的表达式时，就有同学这样认为，大家觉得这样描述对吗？

生14：我觉得不对（兴奋地站起来）！

师：应该怎么说？你是怎么看出来的？

生14：当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y也随x的增大而减小，我是观察表格发现的.

生15：其实，从图像和点坐标的变化情况（指着屏幕，即图12）就能看出来，因为它们是分开、独立的两支，所以只能说在各自的象限内，图像从左向右呈下降趋势，也就是在各自象限内，y随x的增大而减小.

师：说得非常好！这也是反比例函数的一个特别之处，还有需要补充的吗？

生16：我感觉这个反比例函数的图像是轴对称图形.

（同学们投来惊讶的目光）

师：哦？这个发现挺有意思的，你上来给大家讲一下，说说你是怎么发现和验证的.

生16：对称轴是二、四象限的角平分线（学生用粉笔画出），刚才我把之前画的图折叠了一下，发现折痕两边差不多是重合的.

师：很好！我们再试着沿第一、三象限的角平分线折叠一下看看.

众生：也是对称的（操作后，齐声回答）.

活动二：类比分析，发现归纳

师：刚才几个同学初步归纳了反比例函数y=的图像和性质，如果k取 “-6”，它的图像与性质又是怎样的呢？

（课件演示）

类比反比例函数y=图像与性质的探究过程，分析反比例函数表达式y=-，画出它的图像，并讨论、记录、分享你们组的发现.

（请学生板演，大约4分钟后）

师：你们是如何画图的？又有哪些发现呢？（巡视后，指定小组交流）

生17：我们通过列表、描点、连线画得这个函数的图像，图像是分布在第二、四象限的双曲线；两支图像也分别无限接近于坐标轴；在各自的象限内y随x的增大而增大.

师：还有其他组要补充的吗？

生18：我们发现反比例函数y=-的图像也是轴对称图形，并且它与反比例函数y=的图像既关于x轴对称，也关于y轴对称.

（教师适当引导，学生对照图像加以解释，由两个函数图像上的点关于坐标轴对称，得到图像对称）

活动三：初步小结，深化理解

师：刚才我们研究了反比例函数y=（k≠0），当k取6和-6时，它们的图像和性质.

（课件演示）

对于反比例函数y=（k≠0），当k取不同的正数或负数时，它的图像与性质又是怎样的呢？

利用图形计算器“函数”功能，快速画出你心目中感兴趣的一些反比例函数图像，观察后向同伴描述它的特征.

（一体机实时投射全班同学的操作画面，如图14、图15）

师：通过刚才的操作与交流，大家有什么发现？

生19：反比例函数的图像都是双曲线，当k>0时，图像分布在第一、三象限，在各自的象限内y随x的增大而减小；当k<0时，图像分布在第二、四象限，在各自的象限内y随x的增大而增大.

（一体机实时投射图13）

生20：当k取不同的正数时，k越大图像越靠外，当k取不同的负数时，k越大图像越靠内.

师：通过刚才我们的一系列操作和探究，同学们对反比例函数的图像与性质已经有了比较深刻的认识和理解，接下来，老师要看看大家解决问题的能力.

（三）巩固新知，解决问题

（教材例题，略）

（四）概括總结，激发思考

（课件演示）

通过本节课的学习，你对反比例函数有了哪些新的认识？在对反比例函数图像与性质的探究过程中，有无激发你新的思考？

生21：反比例函数的图像都是双曲线，当k>0时，图像分布在第一、三象限，在各自的象限内y随x的增大而减小；当k<0时，图像分布在第二、四象限，在各自的象限内y随x的增大而增大.

生22：反比例函数的图像都是轴对称图形，且有两条对称轴；以后再探究新的函数图像与性质，我们可以类比今天探究的过程和方法.

生23：我们小组有几点思考：所有的反比例函数图像是否都是中心对称图形？一定是轴对称图形吗？k的取值与反比例函数图像形状之间具有怎样的对应关系？

师：刚才几位同学交流了他们对反比例函数图像与性质的认识，也提出了自己新的思考. 希望同学们课后能利用手中的图形计算器，借助《实验手册》“实验13 验证反比例函数图像的对称性”提供的素材和方案，对反比例函数的图像与性质继续展开探究.

“反比例函数的图像与性质”

教学点评

“反比例函数的图像与性质”是教材中的常规教学内容. 本课通过数学实验，以图形计算器为实验工具，以教师引导、学生探究为组织形式，以动手“做”数学为学习方式，对反比例函数的图像与性质进行了探索. 本课采用的实验教学，突破了传统函数图像教学中的难点，是一节比较成功的数学实验课.

本课属于计算机（包括图形计算器）探索型片段式数学实验. 通过模拟再现问题情境，借助图形计算器的“双变量”“几何学”“函数”三种功能，引导学生动手操作、自主合作探究出反比例函数的图像与性质，其基本步骤为：提出问题→观察猜想→动手操作→验证归纳结论，符合数学实验教学的一般特点.

（一）本课的总体印象

1. 创意整合的学习内容促进了学生对函数的全面认识和整体把握

“反比例函数的图像与性质”是初中数学函数学习中较为典型的研究具体函数图像与性质的课例. 苏科版初中数学教材中将该内容分成2个课时，分别是“第1课时：反比例函数的图像”和“第2课时：反比例函数的性质”，其中，“反比例函数的图像”只是画图像，内容较为单一. 考虑到八年级学生通过一次函数的学习已经具有了一定函数学习的经验，因此，为了突出反比例函数的图像与性质的关联性、内容的整体性，在充分尊重教材的基础上，对2个课时的学习内容进行了不失理性的内容整合，同时将苏科版《数学实验手册》八年级下册“实验13 验证反比例函数图像的对称性”也融入其中，这样的学习内容有助于学生全面、深刻地去认识、理解和掌握函数知识.

2. 科学有效的活动设计推进了学生对知识的掌握和活动经验的累积

一是在知识理解与掌握的层面进行了科学设计. 对显性知识的正确理解并进行科学的教学设计，是开展教学的基本要求. 本课紧紧抓住了反比例函数的图像形状、反比例函数的性质、反比例函数图像的特征这三个主要知识点，围绕它们进行了科学设计，促进了学生对知识的掌握.

二是在思想方法与活动经验累积层面进行了有效设计. 本课探究问题的设计，注重了问题与问题之间的关联性. 每一个问题都是在相关问题获得经验的基础上提出的，这样可以帮助学生基本活动经验的叠加、积累，便于探索操作的方法和路径. 同时，学生得到函数图像与性质的过程，是通性通法的过程，也是知识体系的建构过程，在建构知识体系的过程中，渗透了数形结合、类比、转化等数学思想方法.

三是在体验函数研究的方式与方法层面进行了创新设计. 本课对反比例函数图像与性质的探索，突破了传统的先画图、再观察图像发现性质的分步走方式，采用齐步走、能够体现图形研究方法的方式. 也就是运用数学实验，抓住图形研究的根本着力点——对点的研究. 在点的运动过程中产生图像，以及在产生图像的同时发现图像的变化趋势和数量的变化规律，从而得到函数图像的形状、函数的性质以及图像的特征，很好地阐释了所有的图形问题本质上都是点的问题，这是本节课设计上的最大亮点.

3. 自主合作的探究过程增进了学生思维的发展和学科素养的形成

本课既注重感性认识，又关注理性分析. 所设计的每一个探究活动都能让学生动手去操作，在基于活动经验、通过画图观察获得感性认识、形成猜想的基础上，利用图形计算器的独特功能进行验证，并引导学生说明猜想的正确性，从而将感性认识上升到理论分析的层面.

传统的函数图像学习方式是先通过列表—描点—连线，再进行观察—发现—归纳，其优点是程序化特征明显，容易操作与模仿，利于学生对知识的接受. 但因为描出的点的个数较少，学生的函数学习经验也不够丰富，因此在“连线”的关键环节，学生会出现连出的图形为折线等一些较为普遍的情况. 对于这种现象，教师普遍采用的往往是通过强调“连线必须是平滑曲线”的方式，让学生“体验”出图像应该是曲线，学生于是“发现”了“反比例函数的图像是两支曲线”的结论. 这样的教学，显然没有足够的信服力，从学生对“平滑曲线”的理解上来说，就会产生“由平滑的线段连接而成的折线不也是平滑曲线吗”之类的疑惑，但既然老师都这样说了，那就是对的，于是造成学生的思维停滞. 这是学习中典型的被动接受，是传统函数图像学习方式的最大缺点，也是教师教学处理上的最大难题.

基于此，为破解这个缺点和难题，本课在该环节通過数学实验，利用图形计算器进行了探究. 学生先是利用图形计算器的“双变量”点加密功能，增加点的稠密度，在点的个数逐渐加大的过程中，图像得以逐渐呈现，“图像是双曲线”的发现和说服力越发增强. 然后学生再利用图形计算器的“几何学”点追踪功能，通过操作验证“图像就是双曲线”的发现，最后再引导学生通过说理，说明“图像就是双曲线”这个发现，从而得出结论.

这样的学习活动，学生经历了“想象—操作—猜想—发现—验证—说理”的过程，是学生的思维从感性认识上升到理性分析的过程，是思维从低级走向高阶的过程，也是归纳与演绎两种思维方式相辅相成、相得益彰的体会与运用的过程，因此能够促进学生思维获得良好的发展.

计算机（包括图形计算器）探索型数学实验的特点是开放性强、探究性强、对学生的数学素养和机器操作技能要求高、对教师的课堂掌控力要求高，因此更能强化教师的专业技能，促进学生数学素养、综合素质的形成与提高.

（二）本课突出的特点

1. 凸显了学生的主体地位

数学实验教学也是数学教学，也要遵循数学教学的一般规律. 据观察统计，本节课中，学生单独展示有16组，集中展示有10组，用于发现操作的时间达到12分钟，用于验证操作的时间有18分钟，总共30分钟，占总课时间的75%以上. 同时，教师还注意到了对个别学生的辅导，关注个体差异. 显然，学生的主体地位已经实实在在地落实到了本节课教师具体的教学行为之中. 学生主体地位的凸显，保证了本课教学目标的有效达成.

2. 展现了知识的本质理解

教师对学科知识理解的高度、广度、深度对教学效果的丰富性起着决定性的作用，教师对知识本质的正确理解至关重要. 函数是刻画变化规律的，初中阶段所学的几种函数本质上刻画的是代数式的值的变化规律，因此对这几类函数性质的研究一方面应从“数量特征”上加以认识，另一方面也要从“图形特征”上直观理解这些性质，并对图像的几何性质再开展研究. 本课对反比例函数像与性质的探究就比较充分地体现了这一点. 另外，本节课通过对点的研究也体现了对函数图像“数量关系→数据→无数个点（静止）→一个点（运动）→线”和“线→无数个点（静止）→一个点（运动）→数据→数量关系”的本质认识过程，实现了“数与形”“形与数”的华丽转身，体现了数学自身的魅力.

3. 呈现了真正的数学探究

“不是所有的水都是矿泉水”，同样，不是所有的探究都是真探究. 数学探究的特征体现在直觉猜想、实验尝试、反思调整、观察发现、提炼验证、概括归纳的过程之中，是一个发现与提出问题、分析问题与解决问题的完整过程. 本课涉及的探究活动都充分体现了数学探究的这些特征，处处透露着浓浓的数学味. 这是一个既关注知识的形成，又关注方法的体验；既注重思维的培养，又注重能力的提高，最终促进学生数学核心素养的形成、促进学生思维发展的一次真正意义上的数学探究活动，具有较强的示范性.