泊松方程的有限差分法的MATLAB实现

冯立伟　徐涛　屈福志

摘要：泊松方程是物理及工程应用领域中一类非常重要的方程，研究其数值求解方法具有重要意义。给出了使用有限差分法求解泊松方程的计算方法，并讨论了使用MATLAB编写计算程序，使用数值算例和静电场实例进行了数值实验，实验结果与理论一致，检验了算法的有效性。

关键词：泊松方程；五点差分格式；有限差分法

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）13-0233-03

1概述

物理过程，都可用椭圆型方程来描述。其中最典型的方程是泊松（Poisson）方程。传热学中带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布、流体动力学中不可压缩流体的稳定无旋流动、弹性力学中平衡问题及电磁学中静电场的电势等均满足泊松方程，泊松方程也是数值网格生成技术所遵循的基本方程。因此，研究其数值求解方法具有重要意义。

MATLAB是目前应用最广泛的科学和工程计算软件。MATLAB基于矩阵运算，具有强大数值运算能力，是方便实用、功能强大的数学软件；同时，MATLAB具有强大的图形绘制功能，用户只需提供绘图数据和指定绘图方式，用很少的程序指令就可得到将计算结果转化为直观、形象的圖像。使用MAT-LAB求解微分方程已有大量的研究。因此，近些年来，越来越多的人开始使用MATLAB来求解泊松方程。利用MAT-LAB强大的数值计算能力和图形绘制技术，可以实现使用差分法求解泊松方程并绘制出数值解的二维、三维图像，从而可以更好地理解泊松方程解的物理意义。

本文讨论使用差分法通过MATLAB编程求解二维矩形区域上的泊松方程，并使用两个算例进行检验和对结果进行分析。

边界条件为

将未知解函数在内部节点上的值按行排列，组成解向量为：

3差分格式的求解

为了便于使用MATLAB编写程序，将差分方程转化为矩阵形式：

4数值实验

算例1：

为了分析和比较差分格式在不同步长下的结果，使用2范数意义下的绝对误差和相对误差作为评价指标，表1给出了步长h=0.01取不同值的绝对误差和相对误差

从表1可看出随着网格步长h的减小数值解的绝对误差和相对误差在变小。

算例2：

二维静电场问题。有一个横截面为矩形的无限长金属槽，槽的宽度为16 m，高度为10m，槽的上盖板和两侧面绝缘，盖板处电势为IOOV，两侧及下地面处电势均为0，电势函数满足泊松方程，无场源f（x）=0，使用差分格式计算槽的横截面内的电势分布，计算结果见下图。

5结论

给出了泊松方程的五点差分格式，并使用MATLAB编制求解程序，使用一个数值算例和静电场算例进行了实验，验证了方法的有效性并分析了在不同步长下的误差情况。