基于Workbench不同截面横梁的模态分析

郑新虎，李浙昆，杨 涛，白云飞

(昆明理工大学 机电工程学院,云南 昆明 650500)

基于Workbench不同截面横梁的模态分析

郑新虎，李浙昆，杨 涛，白云飞

(昆明理工大学 机电工程学院,云南 昆明 650500)

利用模态分析的理论基础，对不同截面的横梁在Workbench环境下进行模态分析，通过对比分析各横梁不同阶次的自振频率以及振型得出了不同截面横梁的性能，并且对比相同截面下不同类型的横梁的自振频率以及振型得出不同类型的横梁在同等条件下的力学性能，让设计者了解到了不同横梁的自振频率以及变形趋势，更加有利于设计者在设计结构时减少共振，提高了构件的可靠性和使用寿命。

Workbench；不同截面；横梁；自振频率；振型

0 前言

随着我国社会和经济建设发展的需要，桥梁的建设则是交通事业发展的重点。在桥梁的结构设计中，桥型的选择会影响到结构的截面尺寸和构造形式，进而影响材料用量、结构自重和施工的难易程度，直接关系到结构形式的合理性、安全性、可行性及经济性。[1]简支梁和悬臂梁是桥梁最常见的截面形式，二者各有特点。因此对其进行模态分析得出不同横梁的不同性能，对于提高桥梁使用寿命有着重要的意义。

简支梁桥是梁式桥中应用最早、使用最广泛的一种桥形。其构造简单，架设方便，结构内力不受地基变形，温度改变的影响，但是简支梁桥也具有明显的缺陷，那就是抗震力较弱，若搭在超高台上，在超外力作用下，安全储备则较低。简支梁常常被应用到小跨度的桥梁建设中。与简支梁桥相比，悬臂梁桥的内力不受基础变形的影响，由于布置伸臂梁，它一方面减少了附属部分梁的跨度，另一方面使得伸臂上的荷载对简支部分产生负弯矩，从而抵消桥梁产生的正弯矩。跨中正弯矩的显著减少，可以减小主梁的高度，进而减少材料的用量和结构自重，从而获得最佳的经济效益。悬臂梁桥虽然在力学性能上优于简支梁桥，可适用于更大跨径的桥梁方案，但由于悬臂梁桥的某些区段同时存在正、负弯矩，无论采用何种主梁截面形式，其构造较为复杂；而且跨径增大以后，梁体重量快速增加，不易采用装配式施工，往往要在费用昂贵、速度缓慢的支架上现浇。

因此对不同的简支梁以及悬臂梁进行模态分析，得出不同截面的横梁的自振频率以及振型，可以方便设计者根据需要选择最合适的横梁模型，有效地避开其自振频率，从而更好地提高桥梁的抗震能力以及使用寿命。

1 模态分析理论基础

模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。模态分析是最基本、最简单的线性动力学分析，也是其他所有动力学分析的基础，其他动力学分析如响应谱分析、随机振动分析、谐响应分析等都需要在模态分析的基础上进行。

模态分析有着非常广泛的实用价值，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用[2-4]。在确定结构的固有频率和振型基础上，可以使结构设计避开共振或使结构以某一特定的频率进行振动；可以得到结构对不同类型的动力载荷的响应情况；有助于估算求解其他动力学分析中的控制参数，进而预测在不同载荷的作用下结构的振动形式。对于多自由度的结构而言，任何运动都可以由其自由振动的模态来合成，有限元的模态分析就是建立模态模型和数值分析的过程。

有限元分析的实质就是求解具有有限自由度的无阻尼及无外载荷状态下的运动方程的模态矢量，系统的无阻尼自由振动方程的矩阵表达式为

(1)

对于线性结构而言式(1)中[M]、[K]均为实数对称矩阵，方程具有简谐运动形式的解，其形式为

{u(x,y,z,t) }={φ(x,y,z) } еiωn t

(2)

式中,{φ(x,y,z) }为位移矢量的幅值，它定义了位移矢量{U}的空间分布；ωn为简谐运动的角频率。

将式(2)带入式(1)后得到与{φ}和ωn有关的方程为

(3)

式(3)在任何t时刻均成立，故除去含t的项得到

(4)

式(4)称为典型的实特征问题，{φ}有非零解的条件是其系数行列式的值为零，即

(5)

或|K-λM|=0

(6)

{K-λiM}{φi}=0

(7)

式中，λi为结构系统的第i个特征值；{φi}为对应的特征矢量。

2 模型的建立

简支梁就是两端支座仅提供竖向约束，而不提供转角约束的支撑结构。简支梁仅在两端受铰支座约束，主要承受正弯矩，一般为静定结构[5]。体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力、支座移动等都不会在梁中产生附加内力，受力简单。

悬臂梁的一端为不产生轴向、垂直位移和转动的固定支座，另一端为自由端。大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。

常见的横梁的截面大体可分为矩形、T字型、圆形、工字型、空心矩形、凹型等截面，本实验采用的是矩形、T字型、工字型、凹型截面进行不同截面下横梁的模态分析。其中T型、工字型、凹型截面横梁均是在矩形截面的基础上去除材料形成的，从而保证了尺寸的相似，增加了结果的可比性。其实体模型如图1所示。

图1 不同截面的横梁模型

将建立好的横梁模型导入Workbench中并对其进行材料设置、网格划分以及约束的施加，本例中横梁选用的材料为结构钢，网格类型设置为六面体网格并在简支梁两端施加固定约束[6]，相比简支梁，悬臂梁只需在梁的一端施加固定约束。由于模态分析的是结构的振动特性，利用模态分析理论可以计算出结构的自然频率、振型以及振型参与系数，因此不需考虑模型本身的受力以及承载情况，只需施加适当约束[7]。

3 模态分析

划分好网格以及施加约束后的模型进行模态分析，在Aalysis setting中的Max Mode to Find中的系数设置为8，即求解模型的前八阶次模态获得其自振频率以及振型进行对比分析[8]。通过Workbench软件得到的不同截面简支梁和悬臂梁在不同阶次的自振频率如表1、表2所示。

表1 不同截面简支梁各阶次自振频率 Hz

表2 不同截面悬臂梁各阶次自振频率 Hz

为了使得表现更加直观将表1、2转换为折线图进行表示，如图2、图3所示。

图2 不同截面简支梁各阶次自振频率折线图

图3 不同截面悬臂梁各阶次自振频率折线图

不同截面的简支梁和悬臂梁的前4阶振型如图4和图5所示。由表1、2以及图4、5可以清晰地看到，在简支梁前八阶次自振频率中T型截面的简支梁的自振频率都要低于其他截面的简支梁，由式(7)可知当刚度矩阵[K]增大时会导致自振频率增加，质量矩阵[M]增大时会导致自振频率减小，由于T型简支梁抗弯刚度及抗扭刚度较小，因此使得其自振频率低于其他简支梁，而矩形截面的简支梁其抗弯及抗扭刚度要高于其他简支梁，因此其个各阶次自振频率相对高于其他截面的简支梁。凹型截面的简支梁前3阶次自振频率与矩形截面简支梁相差不多但高于工字梁以及T型梁，可以看出凹型梁的各项刚度要优于T型简支梁以及工字梁，工字梁的各阶次自振频率高于T型梁，可以看出质量相同的情况下工字梁较T型简支梁更加稳固。

相对于简支梁，不同截面的悬臂梁自振频率折线图与简支梁有类似之处但同时也存在不同之处，类似之处在于前3阶次自振频率各截面悬臂梁之间比较接近，从第4阶次自振频率开始出现明显的分化，矩形截面悬臂梁自振频率开始明显高于其他截面悬臂梁，其他截面自振频率的比较对于简支梁有类似结论，但是不同之处在于第八阶次的自振频率，除了T型截面之外，其他三个截面的悬臂梁自振频率又几近趋于相同，这一点相对于简支梁来说是有所不同的。

相同截面的简支梁与悬臂梁的各阶次自振频率也有很大差距，各阶次悬臂梁的自振频率都会远远低于相同阶次简支梁的自振频率。

由振型图也可以得出类似的结论虽然各阶次振型类似，但从其形变量可以看出矩形截面的横梁变形量要小于其他截面的横梁，凹型截面横梁次之，工字梁的变形量要大于凹型横梁但低于T型梁，因此矩形梁更为稳固，T型横梁的变形最大对材料的刚度要求较高。

对比相同截面的简支梁与悬臂梁的振型图，可以看出悬臂梁的变形幅度要小于简支梁，简支梁最大变形量主要集中在简支中部，这会大大增加简支梁的变形幅度，而悬臂梁最大变形量主要集中在悬臂一端，大大减小了其变形幅度，特别是对比第3阶次与第4阶次振型图，悬臂梁稳定性要明显高于简支梁。

图5 不同截面的悬臂梁的前4阶振型

4 结束语

(1)本文通过对不同截面的横梁进行建模并利用Workbench软件对模型进行有限元的模态分析得出不同截面横梁模型的各阶次自振频率以及振型，并通过对比的方法对所得数据进行分析。

(2)通过对比不同截面横梁的自振频率以及振型及其变形量得出T型截面横梁较其他简支梁自振频率最低，其各方面的刚度要低于其他截面的横梁，但是同等条件下T型横梁所用材料相比其他几个简支梁最小，具有更好的经济性；矩形横梁的自振频率较其他简支梁最高，且其各方面刚度要优于其他截面的横梁，同等条件下其造价要高于其他简支梁。

(3)通过对比相同条件下悬臂梁与简支梁，得出悬臂梁各阶次自振频率要低于简支梁，并从其振型图可以看出，相同条件下悬臂梁的变形幅度要明显低于悬臂梁，因此同等条件下悬臂梁的稳定性要高于简支梁。

[1] 刘春雷,戴素娟,刘春晖.关于悬臂梁桥与简支梁桥中梁的内力分析的对比[J].安徽建筑，2015,22(06):111-112

[2] 李世芸,肖正明.弹性力学及有限元[M].北京:机械工业出版社,2015

[3] 傅志方,华宏星.模态分析理论与应用[M].上海:上海交通大学出版社，2000

[4] 曹妍妍,赵登峰.有限元模态分析理论及其应用[J].机械工程与自动化,2007,(01):73-74

[5] 李小珍,张志俊,刘全民.任意移动荷载列作用下简支梁桥竖向振动响应解析分析[J].振动与冲击,2012,(20):137-142

[6] 王泽鹏,胡仁喜,康士廷，等.ANSYS Workbench 14.0有限元分析从入门到精通[M].北京.机械工业出版社,2014

[7] 韩子伟,李浙昆,王治军,等.刮板式烟梗回潮机刮板轴的建模与仿真[J].机械制造，2016,54(02):24-25

[8] 刘涛,王卫辉,鹿飞,等.基于Workbench的箱形伸缩臂模态及谐响应分析[J].制造业自动化,2015，(04):80-82

Modal analysis of beams with different cross sections based on Workbench

ZHENG Xin-hu, LI Zhe-kun, YANG Tao, BAI Yun-fei

(Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500,China)

Based on the theory of modal analysis, the modal analysis of beams with different cross sections in Workbench environment is carried out. The performance of beams with different cross sections is obtained by comparing and analyzing the natural frequencies and modes of different orders. And compared with the different types of beams under the same cross section, the natural frequencies and vibration modes of different types of beams can be obtained under the same conditions. The designer knows more of the different beams of the natural frequency and the deformation of the trend through the analysis. It can be more conducive to reduce the resonance of the structure in designing. It can also improve the reliability and service life of the components.

Workbench；different section；beams；natural vibration frequency；vibration type

2016-12-22；

2017-01-23

国家自然科学基金资助项目(51168020)；红云红河集团技术开发资助项目(2012GY08)

郑新虎(1991-)，男，山东省人，硕士生，主要研究方向为数字化设计与制造。

李浙昆(1957-)，男，云南省人，教授，博士生导师，主要研究方向为机电系统设计及控制技术、设备性能分析与评价等。

TP393

A

1001-196X(2017)03-0053-05