胸中有图，见数想图

彭尚峰

【摘要】“数形结合”是数学学习中要具备的重要解题意识，更是高中阶段数学学习的法宝.本文首先分析了小学、初中阶段的“数形结合”运用情况，接着重点分析了高中阶段“数形结合”运用的必要性、主要策略以及应注意的事项，以期寻求一条高效的解题路径.

【关键词】高中数学；数形结合；必要性；策略

“数”和“形”是数学的基本特征，有“数”就有“形”，“形”也离不开“数”，“以数赋形”“以形助数”是两大解题策略.“数形结合”在高中数学中的运用非常普遍，它以其直观、高效、便捷成为高中数学解决疑难问题的法宝.

一、“数形结合”的运用剖析

（一）在小学数学中的运用

在解决小学数学行程类的问题时，教师就会引导学生借助于“画图”的方式，将代数问题用几何方法表示，从而降低问题的难度，使学生产生顿悟现象.如，小学数学中经常遇到的相对、相向行驶的应用题，只要辅之以图，找出相同的要素，问题便一目了然了.不仅行程类问题，借助于“以形助数”，植树的问题、花坛里放花的问题、串珠的问题等，都借助于图形，使问题简单明了.

（二）在初中数学教学中的运用

如果说小学数学是初识“数形结合”，让学生初步了解和运用“数形结合”，那么初中对这一思想的运用更为普遍.如，数轴、有理数的学习、函数、方程等，尤其是几何题，包括解三角形、周长、面积等问题无一不用到这一理念，助力数学解题轻松简洁.

二、高中数学教学中“数形结合”运用的必要性

“数形结合”思想在小学数学中的渗透，对于小学生而言，无疑是“萌芽”状态，到初中数学教学中，这一理念成为数学问题解决的“利器”.那么，高中数学中，更有必要渗透和运用这一理念，因为高中数学更加艰涩难懂，问题深奥不易解决，而“数形结合”使数学知识直观化、数学问题简单化、生动化，变抽象思维为形象思维.

高中数学教学中，数形结合的思想运用的情况总的来说有以下这些情况：（1）集合及其运算问题（数轴与Venn图）；（2）利用函数图像解决的问题——方程、不等式、恒成立、范围问题等；（3）三角函数图像的运用；（4）平面图形、立体图像的运用问题；（5）应用向量解决的有关问题；（6）解析几何中的数形结合的运用问题等.

高中数学教学中，渗透“数形”思想更有实践意义，用途更加广泛.就以简单的“集合”类的问题为例：实数集是R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|<1}，那么（

瘙 綂 RM）∩N=？这个问题只需要在数轴上画出集合M和N，再利用观察法，问题就迎刃而解.的确，高中数学运用“数形结合”的广度与深度要远远超过小学、初中阶段，在高中广阔的题海中，这种意识对于提高解题的效度与准确率大有意义.

三、高中数学教学中使用“数形结合”的主要策略

（一）“以形助数”“以形解数”

高中數学教学中，“以形助数”的主要体现有：（1）利用曲线方程解题；（2）利用“直线的斜率”；（3）利用单位圆；（4）利用“点到直线的距离”……

如，一个实践性的应用题：教师组织10名学生进行夏令营活动，中午天气特别热，这10名学生就去商店买饮料，6人买了雪碧，5人买了绿茶，5人买了纯净水，其中3人既买了雪碧又买了绿茶，2人既买了绿茶又买了纯净水，3人既买了雪碧也买了纯净水，有1人三样都买了，问：几个人没有要饮料？

这个问题，如果不借助于图形的方式而求解，纯粹用代数方法求解，问题复杂不言而喻.而如果通过Venn图求解，方便快捷，可谓复杂问题简单化，抽象问题直观化.

再如，一些复杂的三角函数题也有必要运用“数形结合”的解题技巧.“以形助数”，可以让三角函数的问题增强生动性和直观性.如，已知a是锐角，则sina，a，tana的关系为：A.sina

（二）“以数助形”“以数赋形”

以数助形、以数赋形在高中数学教学中的主要体现有：（1）向量坐标计算；（2）立体几何中空间向量坐标运算；（3）平面解析几何.比如，立体几何中的平行与垂直问题，建立一个直角坐标系，利用坐标计算，更能体现出解题的方便快捷.

四、运用“数形结合”思想解题时应注意的事项

使用“数形结合”解题时，应注意一下“数”和“形”的转化：（1）几何的运算与Venn图；（2）函数以及图像；（3）数列通项及求和公式的函数特征以及函数图像；（4）直线的方程与曲线的方程（二元方程）.

如，函数y=a|x|与y=x+a的图像有两个公共点，求实数a的取值范围.对于这个问题，如果从代数方面考虑，毋庸置疑难以找到解题的思路，而如果引导学生通过画出y=a|x|与y=x+a的图像，分别从a>0和a<0以及k=1和k=-1两种情况作图，就可根据所作的图形的两种情形而得到a的取值范围.函数问题用作图的方法更容易看清关系与条理，增强函数问题的直观性和生动性.再如，Venn图，在集合的学习中，使用最为频繁和广泛，如，交集、并集、补集、子集、真子集等的表示，Venn图给人一目了然之感.

“数形结合”将数学问题用“形”表示，就如同古代诗人把抽象的情感用具体的外物来表示，使学生更容易快速找准问题的症结所在，找到形与数的一一对应关系，从而理清题目关系，找到对症下药的良方.教师要让学生养成胸中有图，见数想图的数学习惯，使学生终身受益.