浅析完全平方公式的变形应用

何丹丹

【摘要】完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2 ①，（a-b）2=a2-2ab+b2 ②，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.

完全平方公式的几种常见变形：

1.a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab=112[（a+b）2+（a-b）2].

2.ab=114[（a+b）2-（a-b）2].

3.（a+b）2=（a-b）2+4ab.

4.（a-b）2=（a+b）2-4ab.

延伸：a2+11a2=a+11a2-2=a-11a2+2.

推广：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

【关键词】完全平方公式；变形

完全平方公式的运用是初中代数的一个难点，学生会存在各种误区，如，（1）（a±b）2=a2±b2，这是与积的乘方公式混淆运用的典型错误；（2）（-a+b）2=a2+2ab+b2，这是对完全平方公式中间项符号的理解不到位，对于完全平方公式的两个公式的中间项符号，学生会简单地用b前的符号来直接判断，正确的理解是由a，b这两项的符号共同来决定中间项符号.若a，b同号，则中间项符号取正，若a，b异号，则中间项符号取负.只要把握好完全平方公式的特征，归纳总结完全平方公式的几种常见题型，就能让学生较好地运用完全平方公式.下面简单地归纳一下完全平方公式及其变形的几种常见题型.

一、利用完全平方公式来简便计算

例11542+154×92+462.

分析：这是一个三项式，并且首尾两项都是平方形式，这两种特征同时满足，很自然会想到完全平方公式，同时还发现92=2×46，从而可以运用完全平方公式进行简便运算.

解原式=1542+2×154×46+462=（154+46）2=2002=40 000.

点评：这道题中154，46都是数，还可以变为含字母的单项式或者是多项式.重点是对完全平方公式的形式理解到位，公式的左边是两个完全相同的多项式的乘积，右边是个三项式，其中两项是平方形式.

例2（2x+3y）2-2（2x+3y）（2x-3y）+（2x-3y）2.

分析令a=2x+3y，b=2x-3y，则原式=a2-2ab+b2，从而可以运用完全平方公式进行简便计算.

解原式=[（2x+3y）-（2x-3y）]2=（2x+3y-2x+3y）2=36y2.

点评：例2是例1的延伸，即把数换成了多项式.这道题运用换元法将一道看似复杂的题目转换成简单的形式a2-2ab+b2，引导学生不要轻易被眼前的困难打倒，只要找出规律就可化繁为简.

二、完全平方公式的变形应用

例3已和a-b=3，ab=2，求代数式a2+b2的值.

分析运用公式a2+b2=（a-b）2+2ab进行变形，再将已知条件进行整体代入.

解∵a-b=3，ab=3，

∴a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2×2=13.

点评：这道题是对完全平方公式进行变形运用的典型题，在选择、填空题中出现的频率非常高.已知条件也可以变化为给定a+b的值，再运用公式a2+b2=（a+b）2-2ab进行变形.

例4已知a2-b=a（a+1）+3，求代数式a2+b212+ab的值.

分析要求的代数式无法直接用已知条件所给的形式进行变形，因此，就要考虑先对已知条件做出适当的化简变形，得到a+b=-3，那么问题就又转化为例3的类型了.

解∵a2-b=a（a+1）+3，

∴a2-b=a2+a+3，即a+b=-3，

∴原式=a2+b2+2ab12=（a+b）212=（-3）212=912.

点评：这道题在代入求值题型中难度相对较高，不论是已知条件还是要求的代数式都需要变形，对于已知条件的常用变形就是化简，再根据化简后的条件对要求的代数式进行变形.

三、完全平方公式的连续运用

例5已知a+11a=2，求a4+11a4的值.

分析已知条件的次数只有1次，而要求的代数式的次数有4次，故需要进行两次的“升次”.

解∵a+11a=2，

∴a2+11a2=a+11a2-2=22-2=2，

∴a4+11a4=a2+11a22-2=22-2=2.

点评：对于平方差公式可以连续运用的题型比较常见，但是连续运用完全平方公式的题目比较少见.一般都是求a2+11a2的值，这道题运用了两次完全平方公式的变形公式，如果再运用下去，不难发现a8+11a8，a16+11a16，…的值都等于2.

四、完全平方公式的逆运用

例6已知x2+y2-2x+4y+5=0，求xy的值.

分析要求xy的值只能求出x与y的值，从已知条件的形式特征发现有关于x的二次项和一次项，y也一样，若补上常数项就可以配成完全平方式，进而运用平方的非负性来求出x与y的值.

解∵x2+y2-2x+4y+5=0，

∴x2-2x+1+y2-4y+4=0，

即（x-1）2+（y+2）2=0.

∵（x-1）2≥0，（y+2）2≥0，

∴（x-1）2=0，（y+2）2=0，

∴x=1，y=-2，∴xy=1-2=1.

点评：这道题的解题方法为配方法，配方法也是解决多项式的最值问题以及二次函数的相关问题的必备方法.

五、完全平方公式的推广运用

例8已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a，b，c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，请说明该三角形是什么三角形？

分析运用完全平方公式的推广公式先化简，再运用配方法配成完全平方形式，最后，利用平方的非负性确认a，b，c的关系.

解∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，

∴3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，

∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，

∴（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0，

∴（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（a-c）2≥0，

∴（a-b）2=0，（b-c）2=0，（a-c）2=0，

∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，

∴a=b=c，

∴△ABC是等邊三角形.

点评：这道题先是运用完全平方的推广公式，接着问题又化归到配方法上.配方后求出a，b，c的值，从而判断三角形的形状.

学生要掌握好完全平方公式的运用主要是掌握完全平方公式的特征，对于完全平方公式的变形需掌握规律，如，变形1是由公式①②移项得到，符号上出现一正一负的规律；变形2，3，4由公式①②相减得到，符号上出现一正一负的规律.学生要根据题目已知条件及要求结论的特点来选择恰当的方法解决问题.全方位地思考问题，善于找出关键信息，经历探索、思考，根据具体问题进行仔细分析、灵活运用，找出解决问题的简便方法.