一题多解，拨动学生心中那根弦

曾子斌

【摘要】在数学教学中要有效提高学生的解题能力，须授课要有深度和高度，透彻理解知识点，才能使学生深刻认识事物；习题的设置要新颖灵活，点面结合，一题多变，一题多解；要提高学生的阅读能力，加强审题能力，分析能力才能得以提高；要展现求解的思维过程，让学生感受数学思维体操之美；要突显学生的主体性，让学生去归纳总结，鼓励学生提问题.

【关键词】一题多解；解题；分析能力

对数学问题进行“一题多解”，不仅能使我们掌握相应的几种解题技巧，还可以帮助我们全方位地观察问题，对角度多层次地深入理解数学知识，提高数学解题的能力，使我们的思维灵活，解题思路开阔，应变能力增强.然而，不恰当地使用一题多解教学，可能适得其反.所以，如何进行一题多解的解题研究和一题多解的解题教学，值得研究.

一、寻求最佳解法

一题多解的解题研究主要是为了寻求最佳解法.简易的解法，能揭示题目本质的解法，能体现通性通法的解法，都在寻求之列.

二、进行“一题多解”的解题研究

羅增儒教授指出：“对教师的解题而言，没什么不可以研究的，面越宽越好，度越深越好，常规的解法与特殊的解法，简单的解法与麻烦的解法，初等的解法与高等的解法，正确的解法与错误的解法等，教师都可以去做，各个解法也都有其生存的价值”

教师的一题多解解题研究更多的是为了一题多解解题教学，所以，教师在进行一题多解研究时，要注意从通性通法入手，从简易自然入手，从捕捉能揭示题目本质的解法入手，同时要兼顾学生的可接受性、可操作性，这样的一题多解研究才有较大的教学意义.

三、进行“一题多解”的解题教学

即便是符合《课标》要求和学生实际，“广种薄收”的做法用于课堂解题教学也是不可取的，纵然一道题有多种解法，教学时，应当采用几种？如何把握好度？这就需要审时度势，具体情况具体分析.若仅仅是教师在课堂上展示“多解”，用教师的多解代替学生的多解，未必有好的效果.这样的多解常常是“多余的解”.过于烦琐的解法，最好不传授给学生，甚至也不应见诸报刊.比如，一道几何题，连十几条辅助线，看起来眼花缭乱，让人望而却步，教师就不要拿到课堂里去讲.在实施新课程的今天，要提高教学质量，我们要勇于摒弃落后的旧观念，更新一题多解的教学观念.

本文给出示例，供同行们参考.

例如，求函数y=ax-11ax+1（a>0，a≠1）的值域.

思路一（利用函数的有界性）

由y=ax-11ax+1ax=1+y11-y，

∵ax>0，∴1+y11-y>0-1

思路二（利用不等式性质）

y=ax-11ax+1=1-21ax+1，

∵ax>0ax+1>10<21ax+1<2，

∴-1<1-21ax+1<1，∴值域（-1，1）.

思路三（联想到万能公式cos2θ=1-tan2θ11+tan2θ）

∵ax>0，∴可令ax=tan2θ0<θ<π12，

∴y=ax-11ax+1=tan2θ-11tan2θ+1=-cos2θ，

∵0<2θ<π-1

思路四（联想到定比分点公式x=x1+λx211+λ）

∵y=ax-11ax+1=-1+ax·111+ax，在数轴上设A（-1）、B（1）分点P（y）.

因为P分AB的定比λ=ax>0，∴P在A、B两点之间，于是-1

思路五（联想到斜率公式k=y2-y11x2-x1）

求函数y=ax-11ax+1的值域，即求定点M（-1，1）与动点N（ax，ax）连线斜率的取值范围.而点N（ax，ax）在射线y=x（x>0）上，可见MN的倾斜角的范围是0，π14∪314π，π，

∴kMN∈（-1，1）y∈（-1，1）.

经常对问题进行多角度的深入思考，分析能力会自然而然地提高.我们应该重视对解题规律的总结，在上习题课时应精选一些好题进行一题多解的练习，做到举一反三、触类旁通，而且有利于培养学生发散性思维，提高学生的解题能力，有助于构建高效课堂.

【参考文献】

[1]吕林海.数学理解之面面观[J].中学数学教学参考，2003（12）：1-4.

[2]高增春.由一道例题谈学生探究能力的培养[J].中学数学研究，2002（8）：10-12.

[3]曹一鸣.数学教学中需要正确处理的几个关系[J].中学数学教学参考，2003（9）：1-3.