议转化与化归思想的几种方法

陈伟兰

【摘要】转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有以下几种类型：（1）直接转化法；（2）换元法；（3）数形结合法；（4）等价转化法；（5）特殊化方法.

【关键词】转化与化归；解题；类型

一、前言

转化就是将解法未知或者解法困难的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，使用正确的方法进行变换，将现有的问题转化成我们比较容易解决的问题.转化是数学中最常用的思想.其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.常见的转化方法有：一般与特殊的转化、等价转化、复杂与简单的转化、数与形的转化、构造转化、联想转化、类比转化等.

转化与化归思想是解决数学问题的根本大法，数学中的函数与方程的思想、分类讨论的思想以及数形结合的思想归根结底都是转化与化归思想的应用.因此，在数学思想方法的教学过程中，以转化与化归这一根本思想为主轴，可以有效促进学生理解数学思想方法的进程.由于高考模式趋于成熟和题型相对稳定，化归思想可以使数学问题的解决变得目标明确、简洁，起到化繁为简、化难为易的效果，所以，在高考数学的解题中有着广泛的应用，掌握这种思想往往能起到事半功倍的效果.下面我结合今年高考数学中的试题予以说明化归思想的应用.

二、转化与化归数学思想在高考解答题中的应用举例

（一）利用函数与方程的数学思想在函数、方程与不等式之间的转化

例1已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0≤f（-1）=f（-2）=f（-3）≤3，则（C）.

A.c≤3B.39

解析由题意，设g（x）=x3+ax2+bx+c-m，m∈[0，3]，则g（x）的三个零点分别为x1=-3，x2=-2，x3=-1，

因此有（x+1）（x+2）（x+3）=x3+ax2+bx+c-m，则c-m=6，因此c=m+6∈（6，9].

评析本题主要考查三次函数的图像和性质，要求结合函数的图像转化为g（x）的零点即方程问题去解决.

变式已知奇函数f（x）在R上单调递增，且f（x2+x）-f（2）<0，则实数x的取值范围为（）.

A.（-2，+∞）B.（-1，+∞）

C.（-2，1）D.（-1，2）

例2设函数f（x）=x2+x，x<0，

-x2，x≥0， 若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（-∞，2].

评析本题主要考查分段函数和不等式问题，由于f（x）是与二次函数有关的分段函数，可以转化为函数的图像进行分析求解，就更加的直观.

（二）利用数形结合的思想来实现数与形的转化

数形结合的思想其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在很多数学问题中，数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法.

例3设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b+at|的最小值为（B）.

A.若θ确定，则|a|唯一确定

B.若θ确定，则|b|唯一确定

C.若|a|确定，则θ唯一确定

D.若|b|确定，则θ唯一确定

解析由向量加、减法的几何意义，对于任意实数t，b+ta看成两个向量的差，|b+ta|的最小值为1，即向量b的终点到a的投影长为1.只有当θ确定，则|b|唯一确定，反之若|b|确定，则θ不一定确定.

评析本题考查的是向量模与一元二次函数的最值问题，如果选择向量减法的三角形法则会起到事半功倍的效果.

例4如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值5319.

解析过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，

则tanθ=PP′1AP′.设PP′=x，AP′=（20-3x）2+152，

tanθ=x1（20-3x）2+152.

当x=1253112时，tanθ有最大值5319.

评析本题主要考查立体几何的线面角问题，与实际问题相结合，需要先把实际问题转化为立体几何问题，在把立体几何问题又转化为一元二次函数的最大值问题进行求解.题目立意新颖，体现了数形结合的思想和转化与化归的数学思想.

变式如图所示，在棱长为5的正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积（）.

A.是变量且有最大值

B.是变量且有最小值

C.是变量有最大值和最小值

D.是常量

（三）分類讨论思想在转化中的应用

分类讨论思想的实质就是根据所研究对象的性质差异，将一个复杂的问题分成几个简单的问题予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体、明确分类的标准、分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.

例5已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.

（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对P恒成立，求ξ的取值范围.

解析（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a），由函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R），得f（x）=x3+3x-3a（x≥a），

x3-3x+3a（x

3x2-3（x

（2）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围，可令h（x）=f（x）+b，由[f（x）+b]2≤4，得-2≤h（x）≤2，即h（x）在x∈[-1，1]上的值域是集合[-2，2]的子集，即求h（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值，让最大值小于等于2，最小值大于等于-2，即可求出3a+b的取值范围，结合（1）分a≤-1，-1

评析本题主要考查了函数的最值，利用导数研究函数的单调性、恒成立问题等基础知识是一道综合性很强的压轴题.但是该题起点低易入手，只要抓住两个常规的讨论（去绝对值和a与区间的讨论）问题就迎刃而解，其实分类讨论就是把未知转化为已知的過程，只要搞清楚为什么讨论和怎么讨论就可以了.

三、结束语

转化与化归思想不仅仅体现在以上三大基本解题思想中，实现转化还有其他途径：空间向平面的转化、常量与变量的转化、一般与特殊的转化等.

数学思想方法的形成比知识的理解和掌握慢，难度大.一种思想的形成必须与学生的认知水平相结合，化归思想的培养应与知识教学一样，经过反复孕育、初步形成、应用发展三个阶段，结合不同阶段的知识教学.因此，在平时的教学过程中有意识地反复孕育同一数学思想显得尤其重要，以期收到潜移默化、水到渠成的功效.

总而言之，转化与化归的思想有着多样化和灵活性的特点，不会提供可以遵循的统一模式.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；提高自己的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.

“抓基础，重转化”是学好高中数学的金钥匙.所以，在学习高中数学的过程中，熟悉转化与化归的思想方法，来达到可以熟练运用数学变换的方法灵活解决有关的数学问题，对提高我们对数学问题的技能和应变能力，是十分有必要的.