构建函数利用导数解答不等式问题的策略

刘杰

摘 要 在数学学习过程中，多元不等式问题一直都是一个考点和难点。这类问题的解题技巧是构建函数，再利用导数的工具作用，从而证得不等式。而根据多元不等式的结构特征构建一个合理的函数是利用导数解答不等式问题的关键。鉴于此，本文结合具体例题，介绍了构建函数利用导数解答不等式问题的六个策略。

关键词 多元不等式 构建函数 导数 整体换元

中图分类号：G633.96 文献标识码：A

0引言

不等式是数学学习中一个重要的组成部分，其证明和解题方法多，技巧强，历来是数学中的一个难点，尤其是多元不等式问题，这类问题的形式更是复杂多样，解题思路灵活多变，具有结构独特、技巧性高以及综合性强等特点，是一类颇具挑战性的题型。而能灵活构建函数，利用导数的工具作用，往往能简捷解决。那么在具体问题中应如何合理的构建函数呢？本文就对此问题进行探讨。

1考虑导数运算法则构建函数

在题目中，若题设出现与导数有关的不等式，则往往是根据导数的运算法则计算后而设计的，因此我们应多从这个角度考虑如何构建函数。根据条件式特征，积极展开联想，借助求导法则，如和差求导、积商求导法则等，恰当构建函数，以便顺利解决目标问题。

例1 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0。对于任意正数a，b，若a

（A）af（a）≤f（b）。（B）bf（b）≤f（a）。

（C）af（b）≤bf（a）。（D）bf（a）≤af（b）。

解法1 设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，那么函数g（x）在（0，+∞）上是减函数（不一定是严格递减）。因此，当b>a>0时，g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）。

又bf（a）≥af（a），bf（b）≥af（b），所以bf（a）≥af（b），正确的选项为（C）。

解法2 由f（x）非负及xf′（x）+f（x）≤0，得xf′（x）-f（x）≤-2f（x）≤0。

设h（x）=，x∈（0，+∞），则h′（x）=≤0，那么函数h（x）在（0，+∞）上是减函数（不一定是严格递减）。因此，当b>a>0时，h（b）≤h（a），即≤，整理得af（b）≤bf（a）。

评注 解法1利用积的求导法则构建函数，而解法2利用商的求导法则构建函数。在建构具体的函数时，需要对照题设中的条件，灵活应对。

一般来说，有下面的规律：

（1）含导数式f′（x）g（x）+f（x）g′（x）可构建函数：F（x）=f（x）g（x）；

（2）含导数式f′（x）g（x）-f（x）g′（x）可构建函数：F（x）=；

（3）含导数式f′（x）+f（x）可构建函数：F（x）=f（x）ex。

（4）含导数式f′（x）-f（x）可构建函数：F（x）=。

（5）含导数式f′（x）+af（x）可构建函数：F（x）=f（x）eax。

（6）含导数式f′（x）-af（x）可构建函数：F（x）=。

2设定主元构建函数

在许多数学问题中，都含有常量、参量、变量等多个量。通常情况下，有一些元素处于突出和主导地位，可视之为主元；为了解决问题，也可人为突出某个量的地位作用，先将其当作主元；其它变元看作常数，来构建函数，再用函数求导知识，结合函数单调性求解。

例2 已知x，y，z为满足x+y+z=1的非負实数，求证：x2y+y2z+z2x≤，并指出等号成立的条件。

证明 x，y，z中必有一个小于或等于，不妨设0≤x≤，且y≤z，则记f（x）=x2y+y2z+z2x=x2y+y2（1-x-y）+（1-x-y）2x=x3+（3y-2）x2+（1-2y）x+y2-y3，其中x是主元，y是从元。

于是f′（x）=3x2+2（3y-2）x+（1-2y）=（3x-1）[x-（1-2y）]。

由0≤x≤得3x-1≤0，由x+y+z=1得x-（1-2y）=y-z≤0，所以f′（x）≥0，即f（x）在[0，]内是增函数，所以f（x）≤f（）=-y（y2-y+）=-y[（y-）2+]≤，当且仅当x=，y=0，z=时取等号。

其他情形同理可证，等号成立的条件是x，y，z中有一个是，有一个是，另一个是0。

变式 设a≥b>0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2。

证明 构建以a为主元的函数f（x）=3x3-3bx2-2b2x+2b3（x≥b），则f′（x）=9x2-6bx-2b2=（3x-b）2-3b2≥b2≥0，所以f（x）在x∈[b，+∞）上单调递增，得出f（a）≥f（b）=0。

评注 视一个变量为主元，其它变量作常量来处理，这是多元不等式证明的一种重要思想。同时，主元策略还表现于主元选择的变通性，选择不同的主元，对于结构不对称的式子能形成不同的解题途径。

3逆转主元构建函数

解决数学问题时一般从条件出发，借助于一些具体的模式和方法进行正面的、顺向的思考。如果正向思维受阻，那么“顺难则逆、直难则曲、正难则反”。在多元不等式问题中，逆转主元思想常使思考产生新的源泉。

例3 设f（x）=，对任意实数t，记gt（x）=x-t。求证：

（1）当x>0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；

（2）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立。

证明 （1）方法一 令h（x）=f（x）-gt（x）=-x+t（x>0），则h′（x）=x2-。当t>0时，由h′（x）=0，得x=t13；当x∈（0，）时，h′（x）<0；当x∈（，+∞）时，h′（x）>0。所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h（）=0。即x>0时有h（x）≥0。故当x>0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立。

方法二 对任意固定的x>0，令h（t）=gt（x）=x-t（t>0），则h′（t）=（x-），由h′（t）=0，得t=x3。当00；当t>x3时，h′（t）<0。所以，当t=x3时，h（t）取得最大值h（x3）=x3即h（x）≤x3=f（x）。

因此，当x>0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立。

（2）对任意x0>0，g8（x0）=4x0-。因为gt（x0）关于t的最大值是x03，所以要使g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-≥x03，即（x0-2）2（x0+4）≤0，又因为x0>0，所以，不等式成立的充分必要条件是x0=2。

所以，有且仅有一个正实数x0=2，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立。

评注 含参数问题通常含有两个或两个以上变元，习惯上我们把“x”当作自变量。第（1）问中的方法一就是以x为自变量构建函数求解，这是常规思路；方法二是视t为变量，x为常量，构建函数求解，这时就实现了自变量换位。两种方法的可行性体现了变量的相对性。但对于第（2）问，如果仍把“x”当作自变量，这种思维定势就会把问题变得相当复杂，这时用逆转主元的思想将x与t的角色换位，问题迎刃而解。一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量。

4 整体换元构建函数

在处理多变元函数问题中，用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元。从而使变量化多元为少元，即达到减元的目的。问题中的参数减少了，复杂问题就简单化、明朗化了，这就是换元思想独到的作用。

例5 已知函数f（x）=ekx-2x（k为非零常数），对于f（x）的增区间内的三个实数x1，x2，x3（其中x1

<。

分析 由结论可联想到函数图像上由三个点组成的两个斜率的大小问题，但无法从符号语言直接说明。由于函数是增函数，由导数的几何意义及图像，借助f′（x2）作为中间媒介进行处理。

证明 由f（x）递增知f′（x2）=kekx2-2≥0，所以k>0。

先证

f（x2）-f（x1）<（x2-x1）（kekx2-2）

ekx2-ekx1<（x2-x1）kekx2

1-ek（x1-x2）

ek（x1-x2）-k（x1-x2）-1>0。

设h（x）=ex-kx-1>0，x<0，则h′（x）=ex-1<0（ex<1），所以h（x）在（-∞，0）内是减函数，所以h（x）>h（0）=0，故ek（x1-x2）-k（x1-x2）-1>0，因此

同理可证f′（x2）<。所以<。

评注 本题是多元不等式的证明，在变形过程中发现式子中出现一个整体k（x1-x2），此时巧妙地运用换元法化简式子，把二元问题化归为一元问题。构建函数使问题得以转化。一般地，变形过程中若出现指数形式ekx2-ekx1=ekx2[1-ek（x1-x2）]，可考虑对k（x1-x2）作整体换元。

例4 第（2）问的另证 不妨设A（x1，0），B（x2，0），且0-，即只需证>-。

∵f（x1）=2ax21+（a+4）x1+lnx1=0，

f（x2）=2ax22+（a+4）x2+lnx2=0，

两式相减得a（2x21-2x22+x1-x2）+4（x1-x2）+lnx1-lnx2=0，所以

-=。

要证>-，故只需证，即证明

（x1+x2）[4（x1-x2）+（lnx1-lnx2）]

<4x21+2x1-4x22-2x2，

即证明lnx1-lnx2<，变形为ln<。

设t=（00时，g′（t）≥0，当且仅当t=1时，g′（t）=0，所以，g（t）在（0，+∞）上是增函数。又g（1）=0，所以，当t∈（0，1）时，g（t）<0总成立，命题得证。

评注 本题通过解析式变形，构建出的关系，然后通过换元，把二元问题化归为一元问题。一般地，变形过程中若出现对数形式lnx1-lnx2=ln，可考虑对作整体换元。

5 结语

综上所述，构建函数利用导数解答不等式问题不仅简单易行，更重要的是提供了一般性的方法。在多元不等式问题的求解中，我们可以通过考虑导数运算法、设定主元、逆转主元、巧妙消元、整体换元以及利用相似结构等6个策略，构建出适当的函数，化多元问题为一元问题，并在此基础上利用函数的方法如单调性来达到证明多元不等式的目的。

参考文献

[1] 叶国章.构造函数法在解决多变量不等式问题中的应用[J].语数外学习：数学教育，2013（8）.

[2] 张同语，李明政.构造函數、利用导数解答不等式问题的四种策略[J].中学生数学，2015（15）：24-25.

[3] 潘嵩，张同语.构造函数、利用导数证明不等式问题的四个技巧[J].数理化学习：高三版，2015（3）：20-20.