浅析高考试题中的数学学科素养

2017-08-09 20:55王中华�お�
中学生理科应试 2017年7期
关键词:双曲线运算函数

王中华�お�

这两年教育的流行语排行榜中“核心素养”一定榜上有名.核心素养着力解决的是提高学生面对复杂情境下的问题解决能力,使之能够适应飞速发展的信息时代和复杂多变的未来社会.学生发展核心素养,主要指学生应具备的,能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.

现代数学的发展表明,数学的研究源于对现实世界的抽象,通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论等,理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律.因此,数学不仅是自然科学的重要基础,而且在社会科学中发挥越来越大的作用,数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.数学素养也是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.通过高中数学课程的学习,尤其通过高考的选拔,提升学生作为现代社会公民所应具备的数学素养,促进学生自主、全面、可持续地发展.

(1)获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.

(2)提高学习数学的兴趣,增强学好数学的自信心,养成良好的数学学习的习惯;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实、一丝不苟的科学精神;认识数学的科学价值、应用价值和人文价值.

(3)逐步学会用数学的眼光观察世界,发展数学抽象、直观想象素养;用数学的思维分析世界,发展逻辑推理、数学运算素养;用数学的语言表达世界,发展数学建模、数据分析素养.增强创新意识和数学应用能力.

故在新的“高中数学课程标准”中提出了以下六大数学核心素养.

一、数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征.

新课程标准对高考水平数学抽象要求:

能够在现实情境或数学情境中抽象出一般的数学概念和规则;能够将已知数学命题推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.

能够从多个角度理解数学概念、规则和命题;能够运用多种形式表示数学命题的条件与结论,并建立相关命题的联系;能够理解和构建相关数学知识之间的联系.

能够用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与模型;能够提炼出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想.

在交流的过程中,能够用一般的概念解释具体现象.

例1\[2016·全国课标卷Ⅲ\]定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,則不同的“规范01数列”共有().

A.18个B.16个C.14个D.12个

图1解析由题意,得必有a1=0,a8=1,则具体的排法列表如表1,答案:C.

方法归纳本例是由特定的数学情景和规则出发,提炼“规范01数列”的定义及其简单的应用.本题的解题关键是对新的数学情景的理解或对新概念的提炼升华,考查考生数学抽象的素养.

二、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类:一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理,推理形式主要有演绎推理.

新课程标准对高考水平逻辑推理要求:

在实际情境和数学情境中,能够发现蕴含的数学规律,提出有价值的数学问题,并予以数学表达;能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.

对于给定的与学过知识有一些关联的数学命题,能够通过对条件与结果的分析,探索论证的思路,选择合适的论证方法予以证明,并能用准确的数学语言表述论证过程.

能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系,初步建立网状的知识结构.

能够在交流的过程中,围绕讨论问题的主题,观点明确,论述有理有据.

例2\[2016·课标全国卷Ⅱ\]有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.

解析由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3,乙的卡片上数字为2和3,丙卡片上数字为1和2.

答案:1和3

方法归纳逻辑推理包括归纳和演绎.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.由于归纳的前提是特殊,是立足于观察、经验或实验的基础上的,因此归纳的结论不一定完全正确.但是在进行归纳推理的过程中,具有由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,故归纳推理对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用.

三、数学建模

数学建模是对现实问题进行抽象,用数学语言表达和解决问题的过程.具体表现为:在实际情境中,从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型,最终得到符合实际的结果.

新课程标准对高考水平数学建模要求:

能够在熟悉的情境中,发现问题、转化为数学问题,知道数学问题的价值与作用.

能够选择合适的数学模式表达所要解决的数学问题;理解模式中参数的意义,知道如何确定参数,建立模型,求解模型;能够根据问题的实际意义检验结果,完善模型,解决问题.

能够在类似的情境中,经历建模的过程,理解建模的意义.能够运用数学语言,表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果,形成研究报告,展示研究成果.

在交流的过程中,能够用模型的思想说明问题.例3 \[2016·四川卷\]设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>1x-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

解析(Ⅰ)由题意,f ′x=2ax-1x=2ax2-1x,x>0.

①当a≤0时,2ax2-1≤0,f ′x≤0,fx在0,+∞上单调递减.

②当a>0时,f ′x=

2ax+12ax-12ax,

当x∈0,12a时,

f ′x<0;

当x∈12a,+∞时,f ′x>0.

故fx在0,12a上单调递减,在12a,+∞上单调递增.

(Ⅱ)原不等式等价于fx-1x+e1-x>0在x∈1,+∞上恒成立.

一方面,令gx=fx-1x+e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a,只需gx在x∈1,+∞上恒大于0即可.

又∵g1=0,故g′x在x=1处必大于等于0.

令Fx=g′x=2ax-1x+1x2-e1-x,

g′1≥0,可得a≥12.

另一方面,

当a≥12时,F′x=2a+1x2-2x3+e1-x≥1+1x2-2x3+e1-x=x3+x-2x3+e1-x

∵x∈1,+∞故x3+x-2>0,又e1-x>0,故F′x在a≥12時恒大于0.

∴当a≥12时,Fx在x∈1,+∞单调递增.

∴Fx>F1=2a-1≥0,故gx也在

x∈1,+∞单调递增.

∴gx>g1=0,即gx在x∈1,+∞上恒大于0.

综上,a≥12.

方法归纳数学建模要在理解问题实质的基础上,构造恰当的数学模型.如本例,若解题中遇到有关不等式、方程及最值之类问题,构造辅助函数是解决问题常用的方法.设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了化.如研究不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立时,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数h(x)>0,其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口.

四、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果.

新课程标准对高考水平数学运算要求:

能够在数学情境中明晰运算对象,提出运算问题,探究运算的方向和目标.

能够针对运算问题,正确分析运算条件、确定运算方向;能够合理选择运算方法、设计运算程序,综合利用运算法则解决问题.

能够理解运算法则与运算方法之间的关系,知道运算是一种演绎推理;能够在综合利用运算方法解决问题的过程中,体会程序化思想的意义和作用.

在交流的过程中,能够借助运算探讨问题.

例4\[2016·四川卷\]在平面内,定点A,B,C,D满足DA =DB=DC,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满足AP =1,PM=MC,则BM2的最大值是().

A.434B.494C.37+634D.37+2334

图1

解析由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,DA=DB=DC=2.如图1所示,以D为原点,直线DA为x轴建立平面直角坐标系,则A2,0,B-1,-3,

C-1,3.

设Px,y,由已知AP=1,得x-22+y2=1,

又PM=MC,

∴Mx-12,y+32,

∴BM=x+12,y+332,

∴BM2=x+12+y+3324,它表示圆x-22+y2=1上点x,y与点-1,-33距离平方的14,∴BM2max=1432+-332+12=494.

答案:B

方法归纳课程标准及高考大纲对数学运算的要求较高,复习备考时要根据个人的实际情况,进行有针对性地训练.

五、直观想象

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括:利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.

新课程标准对高考水平直观想象要求:

能够在实际和数学情境中,想象并构建相应的几何图形,借助图形提出数学问题,发现图形与图形、图形与数量的关系,探索图形的运动规律.

能够掌握研究图形与图形、图形与数量关系的基本方法;能够借助图形性质探索数学规律;能够通过计算、分析、论证,解决实际问题或数学问题.

能够通过直观想象提出数学问题;能够用图形探索解决问题的思路;能够形成数形结合的思想,体会几何直观的作用和意义.

在交流的过程中,能够利用直观想象探讨数学问题.

例5 \[2016·天津卷\]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2a-1)>f(-2),则a的取值范围是().

A.(-∞,12)B.(-∞,12)∪(32,+∞)

C.(12,32)D.(32,+∞)

解析由f(x)是偶函数,可知在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,由题意得f(-2|a-1|)>f(-2),∴-2|a-1|>-2,∴2|a-1|<212,∴|a-1|<12,解得12

答案:C

方法归纳函数图象在方程、不等式中的应用策略:(1)研究两函数图象的交点个数:在同一坐标系中分别做出两函数的图象,数形结合求解;

(2)确定方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标;

(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可做出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.

利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合,故作出的函数图象一定要准确.

六、数据分析

数据分析是指从数据中获得有用信息,形成知识的过程.主要包括:收集数据提取信息,利用图表展示数据,构建模型分析数据,解释数据蕴含的结论.新课程标准对高考水平数据分析要求:

能够在生活情境中,识别随机现象,知道随机现象与随机变量之间的关联,发现并提出概率或统计问题.能够针对具体问题,选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画随机现象,运用适当的概率或统计模型解决问题;掌握概率或统计解决问题的基本方法.能够在运用统计方法解决问题的过程中,感悟归纳推理的思想,理解统计结论的意义;能够用统计概率的思维来分析随机现象,用统计概率模型表达随机现象的统计规律.

在交流的过程中,能够用数据呈现的规律解释随机现象.

例6\[2016·全国卷Ⅰ\]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图2所示柱状图.

图2

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;

(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解析(Ⅰ)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件i=1,2,3,4

记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件i=1,2,3,4

由题知PA1=PA3=PA4=PB1=

PB3=PB4=0.2,PA2=PB2=0.4

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22

PX=16=PA1PB1=0.2×0.2=0.04

PX=17=PA1PB2+PA2PB1=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16

PX=18=PA1PB3+PA2PB2+PA3PB1=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.4=0.24

PX=19=PA1PB4+PA2PB3+PA3PB2+PA4PB1=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4=0.24

PX=20=PA2PB4+PA3PB3+PA4PB2=0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.2

PX=21=PA3PB4+PA4PB3=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08

PX=22=PA4PB4=0.2×0.2=0.04

离心率是圆锥曲线的一个重要性质,在高考中频繁出现,求双曲线离心率的取值范围问题涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强、方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,构造不等式.现以2008年福建卷中一选择题(求双曲线离心率的取值范围)为例,探索求解该类题的解题方法.

题目双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( ).

A.(1,3)B.(1,3]

C.(3,+∞)D.[3,+∞)

解法1设点P的横坐标为x0,由|PF1|=2|PF2|,即ex0+a=2(ex0-a),解得x0=3ae ,又|x0|≥a,即|3ae |≥a,所以e≤3.

而双曲线的离心率e>1,故1

点评利用双曲线:若点P在双曲线x2a2-y2b2=1上,则|x|≥a,构造不等式求解.

解法2设点P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),由|PF1|=2|PF2|,则

(x+c)2+y2=2(x-c)2+y2(x-5c3)2+y2=16c29,则13c≤x≤3c,又点P(x,y)在双曲线x2a2-y2b2=1上,则x≥a或x≤-a,

∴c3≤a≤3c即13≤e≤3,而双曲线的离心率e>1,故1

点评由|PF1|=2|PF2|这一条件转化为点P在圆上运动,构造不等式求解.

解法3在△PF1F2中,记∠F1PF2=θ,由余弦定理,知

cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|

=(4a)2+(2a)2-(2c)22·4a·2a=5-e24

根据余弦函数的有界性,得-1≤5-e24≤1,考虑双曲线的离心率e>1,得1

点评在焦点三角形中,根据余弦函数的有界性求解.

解法4在ΔPF1F2中,记∠F1PF2=θ,根据双曲线焦点三角形的面积公式S=b2cotθ2,得

b2cotθ2=12×4a×2asinθ,

故X的分布列为:

X16

171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

(Ⅱ)要令Px≤n≥0.5,∵0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5

则n的最小值为19.

(Ⅲ)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用:

当n=19时,费用的期望为19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040;

当n=20时,费用的期望为20×200+500×0.08+1000×0.04=4080;

所以应选用n=19.

方法归纳解答统计与概率综合问题的注意事项:(1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键;(2)明确频率与概率的关系,频率可近似代替概率;(3)此类问题中的概率模型多是古典概型,在求解时,要明确基本事件的构成.

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,需要注意的是,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.(1)求回归方程时,关键在于正确求出系数a,b,由于a,b的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误.(2)根据回归方程进行预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值.

(收稿日期:2017-04-12)

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