透视形形色色的“两点间距离公式”及其应用例析

摘 要：透视在不同知识背景下高中数学形形色色的两点间距离公式，并通过一个实例说明公式的具体应用。

关键词：透视；形形色色；距离公式；例析

中图分类号：G632 文献标识符：A

高中数学“两点间的距离公式P1P2=■”是在人教版必修2的第三章《直线与方程》中的《3.3.2两点间的距离》里学习的。在高三的综合复习中，解析几何大题和选考的“极坐标与参数方程”大题中常常出现“求线段长或弦长”的问题，大部分学生只想到求线段或弦长的两个端点的坐标，再代入距离公式得到

结果，这是最直接的方法，无可厚非。但结果往往事与愿违，大部分学生并没有快速正确地得出答案。究其原因，不是计算过程中出错，就是求出的交点坐标比较复杂。学生只好前功尽弃，半途而废。在讲究“时间就是效率，时间就是分数”的高考考场，如果在复习中不深入研究形形色色的距离公式，不熟知在不同的知识背景下可以引申出不同的距离公式，那么学生就不会有高超的竞技水平，就不能在高要求的高考考场中取得最后的胜利。在此，我旨在为高三学生总结一些来自课本的有形的“求线段长或弦长”的距离公式，帮助高三学生能在不同的知识背景下选用最好的距离公式求线段长或弦长，让学生在数学解题中自觉遵循“熟悉化原则、模式化原则”，最终达到“简单化原则”，从而少走弯路，快速有效地解题。

公式一：已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=

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这是求线段长或弦长的通法，但在特殊的几何图形里，结合所给几何图形的几何特征及其数量关系，距离公式又可以进一步变

形，只要充分利用所给几何体本身具有的性质，就可以有效避免计算上的繁琐，从而实现高效快速地解题。

公式二：直线与二次曲线相交所得的弦长公式

设直线y=kx+m（k不存在时单独讨论）与二次曲线交于A、B

两点，则它的弦长

AB=■·■

（其中x1、x2为直线方程与曲线方程联立消掉y后，整理所得的方程ax2+bx+c=0的两个根）

或AB=■·■

（其中y1、y2为直线方程与曲线方程联立消掉x后，整理所得的方程ay2+by+c=0的两个根）

这是直线与二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交求弦长的普适方法。这实质是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标“设而不求，整体代入”的技巧，就可以有效避免求交点坐标的繁琐。

公式三：直线和圆相交所得的弦长公式：AB=2■

如图1，当直线与圆相交时，得到一个弦长AB，根据圆中图形几何性质：

半弦长、半径r、弦心距d构成直角三角形，即有

AB=2■。

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这个公式源自人教版必修2的第四章《圆与方程》中的《4.2.1直线与圆的位置关系》，教参还突出强调了“适当地利用图形的几何性质，有助于简化计算，达到事半功倍的作用”。

公式四：过抛物线y2=2px的焦点F的弦长公式AB=x1+x2+p

如图2，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，由抛物线的定义可知，AF等于点A到准线的距离AM，

∴AF=x1+■，同理BF=x2+■

于是得到AB=AF+BF=x1+■+x2+■，

即AB=x1+x2+p

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由此可见，只要求出点A、B的横坐标之和，就可以求出|AB|。这是人教版选修2-1介绍的方法——数形结合。

公式五：如图3，在极坐标系中P1（？籽1，θ1）和P2（？籽2，θ2）两点间的距离公式：P1P2=■

特别地，当直线P1P2过原点时，P1P2=？籽1-？籽2

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公式六：在参数方程中直线与二次曲线相交所得的弦长公式：

AB=t1-t2

经过定点M0（x0，y0）、倾斜角为α的直线l的参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t为参数）（此式称为直线方程的标准形式），其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段■的数量，所以t的几何意义是直线上点M到M0的距离。根据直线参数方程标准形式中t的几何意义，过定点M0的直线与二次曲线相交，交点A、B所对应的参数分别为t1、t2，则弦长AB=t1-t2。

北京航空航天大学数学与系统科学学院李尚志教授在《我看核心素养》中说：“明察秋毫、辨认区别就是一种重要的数学核心素养，而抽象就是最高的核心素养。”李教授还说：“无招勝有招，通过有招学无招。”解题中具体例子就是有招，得出公式就是学到了无招，当然无招胜过有招。下面通过一道高考模拟题举例说明。

在直角坐标系xoy中，圆C的方程为（x-■）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求圆C的极坐标方程。

（2）直线OP：θ=■（？籽∈R）与圆C分别交于点M、N，求线段MN的长。

解析：（1）由极直互化公式x=？籽cosθy=？籽sinθ易得结果。

（2）如图4，此问是求线段的长，涉及的知识有圆和过原点的直线等，因此有很多解法，学生可以选择自己的方法或较为简单的方法来做。

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解：（1）由极直互化公式易得圆C的极坐标方程为：

（？籽cosα-■）2+（？籽sinα+1）2=9

（2）解法一思路：求出M、N两点坐标，代入两点间的距离公式求解。

解：由已知得直线OP方程为y=■x

由（x-■）2+（y+1）2=9y=■x整理得4x2-4■x-15=0

解得x1=■y1=■或x2=■y2=■

所以MN=■=■=2■

解法二思路：巧用“设而不求，结合韦达定理”的方法求解。

解：由已知得直线OP的方程为y=■x

设M、N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2）

由（x-■）2+（y+1）2=9y=■x整理得4x2-4■x-15=0

由韋达定理得x1+x2=■，x1.x2=-■

所以MN=■·■

=■·■

=■×3■=2■

解法三思路：此题背景是圆，所以可以用弦长的一半、半径、弦心距的关系求解。

解：如图5，作CA⊥MN，连接CM

由已知得直线OP的方程为y=■x？圯■x-3y=0

由点线距得CA=■=■

则有AM=■=■

所以MN=2AM=2■

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解法四思路：此题直线给的是极坐标方程，所以可以想到用极坐标两点间距离公式求解。

解：由（1）得圆C的极坐标方程为？籽2+2？籽（sinθ-■cosθ）-5=0

设M（？籽1，■），N（？籽2，■），把θ=■代入圆C的极坐标方程，得 ？籽2-2？籽-5=0解得？籽1=■+1，？籽2=-■+1

所以MN=？籽1-？籽2=■+1-（-■+1）=2■

解法五思路：应用直线参数方程中t的几何意义求解。

解：由已知得直线OP的参数方程为x=■ty=■t（t为参数）

把直线参数方程代入圆的普通方程得

（■t-■）2+（■t+1）2=9，化简得t2-2t-5=0

设直线OP与圆相交所得的交点M、N所对应的参数分别为t1、t2，则有t1+t2=2，t1·t2=-5，所以

MN=t1-t2=■=■=■=2■

两点间距离公式现身于必修2，隐身于选修2-1，变身于极坐标和直线的参数方程中，不同的知识载体，两点间的距离公式有所不同，这就需要同学们在解题过程中注意审题，认清知识背景，仔细分析运算条件，积极探究运算方向，选择有效的运算公式，从而快速有效地解题，并在“发现问题、总结归纳、辨别使用”的思维活动中不断提升自身的数学素养。

作者简介：王雅贞（1974—），女，广西宜州市高级中学高级教师，理学学士，主要从事高中数学教育教学工作。