浅谈导数及其应用

陈晨

【摘 要】导数的概念及其运算是高考的必考内容，导数的运算一般不单独考查，而是渗透在其他题目中，导数的几何意义往往与解析几何结合考查；导数的应用主要考查用导数研究函数的单调性、极值、最值、实际问题中的优化问题等，往往与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等相关知识综合考查，涉及的思想主要有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及化归与转化思想等。

【关键词】导数的运算；导数的几何意义；导数的应用及思想方法

一、考纲解读

在导数的概念及其运算中能够了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，会求过曲线上某点的切线的斜率与切线方程，能将平行或垂直直线间的关系转化为导数关系；熟记常见基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数；利用导数的几何意义求曲线的切线斜率是高考热点。

导数的应用中能够了解函数单调性与导数的关系，会利用导数研究函数的单调性，掌握求函数单调区间的方法；了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，掌握求函数极值与最值的方法，会利用导数求函数极值与最值及解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题；利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点（其中多项式函数一般不超过三次）。

二、解题方法与技巧

1.导数的运算

熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则，掌握导数运算的原则即：先化简求解析式，再求导。掌握导数的运算方法：①连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察多项式的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导。

2.导数几何意义的应用

（1）已知切点P（x0，f（x0）求斜率k，即求该点处的导数值k=f?（x0）；

（2）已知斜率，求切点P（x1，f（x1），即解方程f?（x1）=k；

（3）求过某点Q（x1，f（x1）的切线方程，需分Q（x1，f（x1）是切点和不是切点两种情况求解。若点Q（x1，f（x1）是切点，则切线方程为y-f（x1）=f?（x1）（x-x1）；若点Q（x1，f（x1）不是切点，则需先引入切点P（x0，f（x0），利用导数的几何意义表示出切线方程y-f（x0）=f?（x0）（x-x0），再将Q（x1，f（x1）代入切线方程得到关于x0的方程求出x0，最后将x0代入y-f（x0）=f?（x0）（x-x0）即可得到所求。

3.利用导数研究函数单调性的方法

法一：①求函数f（x）的定义域；②求导函数f?（x）；③在定义域内解不等式f?（x）>0和f?（x）<0，若不等式中帶有参数，则一般需对参数进行分类讨论；④利用导数与单调性的关系确定函数f（x）的单调区间。

法二：①求函数f（x）的定义域；②求导函数f?（x）；③求f?（x）=0在定义域内的一切实根；④用求得的根划分定义域；⑤确定f?（x）在各个开区间内的符号，根据符号判断函数在每个相应区间内的单调性。

4.由函数的单调性求参数的取值范围方法

（1）可导函数在某一区间上单调，实质就是在该区间上f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在该区间的任意子区间内都不恒等于0）恒成立，可以直接构造函数求最值转化为不等式问题或分离参数转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围；

（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f?（x）≥0（或f?（x）≤0）（f?（x）在该区间的任意子区间内都不恒等于0）在该区间上存在解集，把函数的单调性问题转化为不等式问题；

（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，转化为集合间的基本关系讨论，从而可求出参数的取值范围。

5.利用导数研究函数的极值和最值方法

（1）求可导函数f（x）的极值步骤：求定义域→求导函数f?（x）→解方程f?（x）=0→检验f?（x）=0的根的左右两侧的函数值符号，若左正右负，则函数y=f（x）在这个根处取得极大值；若左负右正，则函数y=f（x）在这个根处取得极小值，可列表完成。

注意：上述过程中检验不可缺，因为f?（x）=0是x0为f（x）的极值点的必要不充分条件，如f（x）=x3，f（0）=0，但x=0不是极值点。已知函数极值求参数值时，利用极值点处的导函数为0和极值建立方程求出参数值后要检验，如人教A版选修2-2导数习题“已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，求的值”利用f?（2）=0可求出的值为2或6，用上述求极值的步骤检验可得c=6。

求极值也可以按下列步骤解题：求函数的单调区间画出函数的大致图像（注意分析函数值的变化情况）结合极值的定义下结论。

（2）已知可导函数y=f（x）在某区间上有极值，求参数取值范围。

法一：由f?（x）在该区间上存在变号零点，转化为函数与零点问题进行讨论。

法二：由f?（x）=0分离参数，构造函数求在该区间上的值域，数形结合分析。

法三：直接求函数在定义域内的极值，由整体到局部分析，转化为集合间的基本关系讨论。

（3）求函数f（x）在区间[a，b]上的最值方法。若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f（a）与f（b）一个为最大值，一个为最小值；若函数在闭区间[a，b]上有极值，先求出[a，b]上的极值，再与端点的函数值f（a）与f（b）比较，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值；若函数f（x）在（a，b）上有唯一的极值，则这个极值就是函数的最值，此结论在导数的实际应用中经常用到。endprint

（4）利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x），根据实际意义确定定义域→求函数y=f（x）的最值→还原到实际问题中作答。

求最值含参数时解题思路是先“整体”后“局部”即：先求函数在整个定义域内的最值，找出临界点，再结合题目所给的区间数形结合分析所得图像，利用最值定义可得。近几年的高考题中，2011年山东卷21题在此部分有考查。

6.利用导数解决不等式问题

（1）不等式的证明问题的一般解题思路：从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得到结论。如证明f（x）1。第（1）问考查的是导数的几何意义，通过方程思想求出，利用分析法将命题转化为证，构造函数h（x）=xlnx，g（x）=xe-x-可求得h（x）在（0，）上单减，在（，+∞）上单增，从而有h（x）min=h（）=-，g（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，从而有h（x）min=g（1）=-，即可得x>0时h（x）>g（x），即证f（x）>1。

（2）不等式的恒成立问题。“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：

若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a恒成立，只需在给定区间中满足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可；若∈D，f（x）≥a或g（x）≤a成立，只需在给定区间中满足f（x）min≥a或g（x）max≤a即可。

7.利用导数研究函数的零点或方程的根

研究函数图像的交点、方程的根、函数的零点实质是研究函数的性质，如单调性、极值等。用导数研究函数的零点，一方面可以用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

三、例题分析

1.（2017全国卷II第21题，12分）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0。（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e-2

解题思路：求解第（1）问时，构造函数g（x）=ax-a-lnx，由g（1）=0，g（x）≥0可知g?（1）=0，可得a=1，当a=1时，易知g（x）在（0，1）单减，在（1，+∞）上单增，从而有g（x）min=g（1）=0，故a=1；求解第（2）问时，令h（x）=2x-2-lnx，则h?（x）=2-，易知，当00，h（）<0，h（1）=0，由零点存在性定理及单调性可得h（x）在（0，）上有唯一零点x0，在[，+∞）上有唯一零点1，然后证明f（x）有唯一的极大值点x0，进而得到e-2

本题主要考查导数的运算，利用导数判断函数的单调性，求极值点、最值点，零点存在性定理，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力、函数与方程思想以及分类讨论思想。

2.（2017全国卷I第21题，12分）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x。（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围。

解题思路：求解第（1）问时，先求函数的定义域，再求出导函数f?（x）=（aex-1）（2ex+1）分a≤0和a>0结合不等式的性质得到函数的单调性：a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上单减，a>0，f（x）在（-∞，-lna）上单减，在（-lna，+∞）上单增；（2）结合第一问的單调性易知a>0，求出此时f（x）min=f（-lna）=1-+lna，由f（x）min与0的大小关系可分a=1，a>1，0

本题主要考查导数的运算以及导数的应用，函数的单调性，函数的零点等知识，意在考查学生的运算求解能力，分析问题与解决问题的能力。

导数的题综合性较强，求解导数有关题的前提是掌握导数的基本知识：导数的计算、导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及极值和最值等，学会综合应用函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及化归与转化思想，灵活运用其它知识解决问题。