妙解反比例函数图像题

万广磊

在全国中考数学试题中，综合性较强的反比例函数问题一般在填空题或选择题的最后一题，成为不少同学的拦路虎.如何巧妙降服这个拦路虎，本文介绍几个神奇的妙招助你神攻.

一、“k”神附体

对于反比例函数中“y=[kx（k≠0）”]的几何意义，结合图像，我们可以这样理解：

如图1，过双曲线y=[kx]（k≠0）上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积S=PM·PN=[y·x=xy=k].过双曲线y=[kx]（k≠0）上的任意一点E作EF垂直于其中一条坐标轴，垂足为F，连接EO，则S△EOF=[k2].

例1 （2016·甘肃兰州）如图2，A、B两点在反比例函数y=[k1x]的图像上，C、D两点在反比例函数y=[k2x]的图像上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF=[103]，则[k2-k1=]（ ）.

A.4 B.[143] C.[163] D.6

【解析】如图3，连接AO、CO、DO、BO，因为S△AOC= S△AOE+S△EOC，所以[k12]+[k22]=[12]AC×OE.因为k1<0，k2>0，AC=2，所以[k2-k12]=[12]×2×OE，所以OE=[k2-k12].因为S△BOD= S△DOF+S△BOF，所以[k12]+[k22]=[12]BD×OF，又因为BD=3，所以[k2-k12=12×3×OF，]OF=[k2-k13.]又因为OE+OF=EF=[103]，所以[k2-k12+k2-k13=103] ，解得[k2-k1=4]，故选A.

二、巧设坐标

求与反比例函数的比例系数有关的代数式的值，一般要转化为求点的坐标的问题，再充分利用已知两点在反比例函数图像上的特征，由图像上点的横纵坐标的积相等寻找等量关系，实现问题的转化.

例2 （2016·江苏扬州）如图4，点A在函数y=[4x]（x>0）的图像上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为（ ）.

【解析】设A点坐标为（a，b），则OB=a，AB=b，根据反比例函数的解析式和勾股定理得到方程组[ab=4，a2+b2=16，]整体变形得[（a+b） 2]=16+2×4=24，又因为a>0，b>0，所以a+b=[26]，则△ABO的周长为[26+4].故答案为[26+4].

本题若设A点坐标为（x，[4x]），则OB=x，AB=[4x]，运用勾股定理构建方程[x2]+[4x2]=16，解方程时出现了一元四次方程，其实可以将方程转化为[x+4x2=24，]即可得到x+[4x]=±2[6]，再结合题意保留正数，但是相对比较烦琐.

例3 （2016·山东菏泽）如图5，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=[6x]在第一象限的图像经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC-S△BAD为（ ）.

A.36 B.12 C.6 D.3

【解析】设B的坐标为（a，b），因为反比例函数y=[6x]在第一象限的图像经过点B，则有ab=6.又因为△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，S△OAC=[12]OC2，S△BAD=[12]BD2，则S△OAC-S△BAD=[12]（OC2-BD2）=[12]（OC+BD）（OC-BD）=[12]·（OC+BD）（AC-AD）=[12]ab=[12]×6=3，故选D.

三、巧设参量

根据平面直角坐标系内线段的特征，用参量巧妙设出与坐标轴平行线段的长，进而得到有关点的坐标，再结合解析式进行运算.

例4 （2016·山东滨州）如图6，已知点A、C在反比例函数y=[ax]的图像上，点B、D在反比例函数y=[bx]的图像上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB=[34]，CD=[32]，AB与CD间的距离为6，则a-b的值是 .

【解析】如图7，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是F、E、P，设OE=x，OP=m，则点B的坐标为（x，m），点A的坐标为（x+[34]，m），将点A和点B的坐标依次代入y=[ax]与y=[bx]，可得mx=b与m（x+[34]）=a，所以b+[34]m=a，整理得m=[43]（a-b），设OQ=n，同理可得b+[32n]=a，即n=[23]（a-b），根据m+n=6，可得[43]（a-b）+[23]（a-b）=6，解得a-b=3.故答案为3.

例5 （2016·湖北十堰） 如图8，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y=[kx]（k>0，x>0）上，则k的值为（ ）.

A.25 B.18 C.[93] D.[9]

【解析】如图9，过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OA于点F.容易知道：△CFA、△CDB、△DEO都是含30°角的直角三角形，设AF=t，则CF=[3t]，OF=10-t，AC=2t，則有C（10-t，[3t）]，然后，BC=10-2t，BD=5-t，OD=5+t，OE=[5+t2]，DE=[3（5+t）2]，所以有D（[5+t2]，[3（5+t）2]），把点C和点D的坐标代入y=[kx]中，得：（10-t）×[3]t=[3（5+t）2]×[（5+t）2]，运用后面将学到的一元二次方程的解法可得：t=1或t=5（不合题意，舍去），进而解得k=9[3].故选C.

四、“相似”助攻

如图10，直线OA分别交反比例函数y=[k1x]（k1≠0）和y=[k2x]（k2≠0）在第一象限的图像于点A、B，则[OBOA=k2k1]（该结论可以用后续学习到的相似三角形进行证明）.

例6 （2016·浙江宁波）如图11，点A为函数y=[9x]（x>0）图像上一点，连接OA，交函数y=[1x]（x>0）的图像于点B，点C是x轴上一点，且AO = AC，则△ABC的面积为 .

【解析】作AD⊥OC于D，∵AO = AC，∴OD=CD，∴S△AOC=2S△AOD= 2×[92]=9，结合上述结论可知：[OBOA=][19]=[13]，∴[ABOA]=[23]，∴S△ABC=[23]S△AOC= [23×9=6]，故答案为6.

（作者单位：扬州大学附属中学东部分校）