浅谈数据处理中基本统计量的教学

刘晓丹

【摘 要】2011年版标准明确初中统计的教学包括：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断。其中，数据的收集与描述在小学已有所涉及，而数据处理中多数统计量在初中是第一次认识，如何在这部分教学中培养学生数据分析观念这一核心素养呢，下面我结合自己的教学谈谈几点做法。

【关键词】统计概念；数据分析；统计量

一、创设问题情境，辨析统计概念

反映一组数据特征的一般指标是平均水平和波动情况。初中阶段主要用平均数、中位数和众数来表现平均水平，用方差来反映数据的波动情况。教学中教师要引导学生理解统计量的意义，而不是单纯地识记名词，掌握计算方法。对于平均数、中位数、众数这三个刻画一组数据集中趋势的统计量，在教学中，我们可以呈现有争议的问题情境，让学生在“公说公有理，婆说婆有理”的讨论中加深对概念的辨析与理解，并学会根据问题的背景选择合适的方法进行处理。

教学完数据的集中趋势三个统计量后，我提供了以下具体情境，并逐一呈现问题让学生进行讨论：

例1：星期天上午，科技馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下所示：

问题1：请根据上述数据求出两队游客年龄的平均数、中位数和众数；

问题2：哪个统计量能较好地反映甲队游客一般年龄，你选择的理由是什么？

问题3：平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？

问题4：比较两队的数据特征，你认为在反映具体问题中数据的集中趋势时，应如何选择统计量？

通过问题讨论，引导学生发现并总结，由于求平均数时用到了每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感，也容易受到极端数据的影响；中位数与数据的排列位置有关，反映的是数据的中等水平；而众数反映的是数据的多数水平，大小只与数据中部分数据有关。在选择统计量反映一组数据的集中趋势时，要考虑这组数据的分布特点。对于对称或近似对称分布（正态分布）的数据，用平均数、中位数和众数来反映这组数据的集中趋势是一样的。为了体现每个数据的作用，一般情况下，我们用平均数作为数据的代表。而对于不对称（偏态分布）的数据，由于平均数容易受极端数据的影响，这时可以用中位数反映具体问题中数据的集中趋势。

二、掌握统计算理，解决具体问题

数据处理中的相关统计量，学会计算固然重要，但并不能成为最核心的目标，因为对于现实问题，数据往往十分繁杂，学生笔算是十分困难的，面对具体问题，将来也多是借助计算器或者计算机进行运算。因此，笔算不应成为统计教学的核心，只要学生了解各个统计量的算理，做到会计算即可。教学的重心应转变到对于统计量意义的理解，并利用算理选择统计量，以解决具体问题。

例如我们可以呈现以下这些问题让学生加深对统计算理与规则的理解与掌握：

例2：李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：

如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）

A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数

在例2中，由于平均数能体现每一个数据对总体的影响，方差是个体数据与平均数差的平方的平均数，去掉最高分与最低分，平均数与方差自然也有所变化。由于中位数是8.3，平均数是8.5，并不能确定最低分是原来的众数8.1，故一定不会发生变化的只能是中位数。从本例中我们发现，解决一些具体问题，不一定要求出各个统计量，只要利用算理进行适当的判断即可。因此，教学中不仅要让学生掌握必要的求解统计量的方法，还要让学生明白算理，灵活运用运算规则解决问题。

在初中所学相关数据处理的四个统计量中，学生最难理解的是加权平均数与方差。加权平均数主要表现为对“权”的理解不清；而方差则是对“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的计算流程没有很好掌握。教学中教师应注重情景教学，多举和生活实际相联系的例子，让学生在解决具体问题中加深对这两个概念与算理的理解与掌握。

三、借助图形直观，判断统计特征

现实生活中，为了直观地展现数据，我们看到的常常是直观的统计图表，因此能从直观的图表中快速获取信息成为一个十分重要的技能。这里的信息，不仅指图表本身所蕴含的一些显性信息，如条形统计图中各部分的数据，扇形统计图中的各部分的百分比等，还包括蕴含的隐形信息，如这些数据的平均水平和波动水平等。这些信息，图表本身并没有明确写出，但可以借助图表获得一个大致的估计。这里的估计，又可以分为两种，一是直接借助图形的直觉整体感知，二是借助图形进行适当的估算。

例如，我们可以借助扇形统计图，快速地求出一组数据的中位数。

例3.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，求这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数。

在本例中，求一组数据的中位数，学生可以通过计算数据的个数与排列顺序求得，但如果理解了中位数的概念，并能正确获取图象中的信息，也可以作出如图所示的辅助线进行直观判断。

为了加强学生利用图形直观估测数据特征的能力，教学

（下转第6页）（上接第4页）

中我还安排了以下教学内容：

例4：甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员，三队队员的年龄情况如下图：

（1）观察三幅图，你能从图中分别看出三支球队队员年龄的众数吗？中位数呢？

（2）根据图表，你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、哪个小吗？你是怎么估计的？与同伴交流。

（3）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你上面的估计是否准确？

对于例4，教学活动要让学生利用图形反映出的直观特征先进行预估，并让学生结合统计量的意义充分交流估算的根据，最后再利用公式计算进行验证。通过思考与交流，让学生积累统计活动经验，进一步发展初步的统计意识和数据处理能力，培养学生的探索精神和创新意识。

同样的，在单元复习中，教师还可以提供一些用几何直观方式更容易求解的统计图表，让学生从中感受图形直觀在解决问题中的魅力。

例5：甲、乙俩射击运动员进行10次射击，甲的成绩是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩如图所示。比较甲、乙射击成绩的方差的大小，你是如何判断的。

这是一道求方差的问题，学生当然可以利用公式对两组数据进行估算后再加以判断，但如果将甲运动员的成绩描在图中，通过几何直观比较两组数据的波动情况，从而判断两者方差的大小，则能迅速便捷地将问题解决。这样的教学活动，不仅对学生巩固统计量的意义有利，同时也能促进学生数据分析观念、几何直观、合情推理等数学核心素养形成。

四、结语

在数据的分析教学中，不仅要让学生认识统计量的定义，学会求解相应的统计量，更重要是要通过对统计量概念的理解，明晰统计量的算理，并根据具体问题情境合理选择统计量来反映数据的特征，进而提升学生数据分析的能力。endprint