刚体转动方程的矢量式——兼谈其与质点动力学的“内在统一性”

黄亦斌 曾建平

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330022)

彭荣荣

(南昌工学院 江西 南昌 330022)

刚体转动方程的矢量式
——兼谈其与质点动力学的“内在统一性”

黄亦斌 曾建平

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330022)

彭荣荣

(南昌工学院 江西 南昌 330022)

就刚体动力学中角动量公式和转动方程进行了分析，指出转动惯量张量不是常量，得到了相关的矢量式，并分析了一些对公式L=Jω和M=Jβ的常见误解．

刚体动力学 定轴转动 转动惯量 矢量式

1 缘起

本刊2016年第10期刊文“刚体与质点动力学关系的内在统一性”[1]，把刚体力学与质点力学的相似性上升到某种理论高度．该文的一些理解是正确的，如“牛顿第二定律和转动定理所描述的都是在外因作用下，适用对象运动状态的变化与外因量之间的关系”，两套力学之间确有一定的相似性和平行

2.2.2 从表示某点的振动方程角度理解3个波函数的等价性

我们知道当波函数中x变量一定时，波函数转化为质点的振动方程．下面用3个波函数来描写波线上P点的振动方程．如果以A为坐标原点，则P点的坐标为xP=u+d，代入A的波函数得到P点的振动方程为

如果以B为坐标原点，则P点的坐标为xP1=u，代入B的波函数得到P点的振动方程为

如果以C为坐标原点，则P点的坐标为

xP2=u+2d

代入C的波函数得到P点的振动方程为

1 马文蔚，等.物理学(下册).北京：高等教育出版社，2006.48～54

2 夏峥嵘，等. 关于驻波的直观教学. 大学物理，2012(12)： 42～44

性．但这种相似性是有限的，故而将该相似性上升到理论高度的基础也就不存在了．

该文的核心问题在于低估了刚体力学的复杂性．诚然，文献[1]对此确有警觉，始终谈论的是刚体运动的特殊情形——定轴转动．但即便如此，该文仍未能对此有充分警觉，从而导致错误．

如果仅讨论刚体定轴转动的轴向分量，那么所述的跟质点力学的相似性没有问题．设转轴为z轴，此时的相关公式(或方程)有

Lz=JωMz=Jβ

(1)

其中J是刚体对z轴的转动惯量．(该量是下文转动惯量张量的zz分量，故而其严格记法是Jzz．但在定轴转动情形，常省略一些，记为Jz，甚至更省略地记为J．)如果喜欢矢量式，那么只能得到

Lzez=JωMzez=Jβ

(2)

其中已考虑到了角速度和角加速度都只有z分量．显然，式(1)和(2)包含完全相同的内容．但如果将其推广为

L=Jω

(3)

M=Jβ

(4)

那么就错了：两式一般并不成立，且式(4)比式(3)错得更多．这种错误在一些大学物理教材中屡有出现，故值得提醒注意．

2 刚体角动量的矢量式

一般理论力学教材都对刚体角动量有详细论述，例如文献[2]．具体的，刚体角动量L(对定点或质心)与角速度ω存在线性关系，其矢量式是

(5)

(6)

式(5)只表明角动量L与角速度ω有线性关系，而式(3)则进一步要求L与ω方向相同．许多教材[3,4]都举例指出二者的方向并不一定相同．也许会问：式(5)针对的是一般情形，如果限制为定轴转动，结果是否会简单？不会．实际上，前述L与ω不同向的例子正属于定轴转动．定轴转动时虽然ω只有z分量，但L的x,y和z分量都存在．式(1)和(2)只告诉我们了L的z分量，但未涉及其x,y分量．实际上它们也跟角速度成正比

Lx=AωLy=Bω

(7)

注意角速度只有z分量，但它决定了角动量的x,y分量．所以，式(3)一般是错的．

3 刚体角动量定理(转动定律)的矢量式

如果把式(3)修正为式(5)，那么新的式子

(8)

r=xex+yey+zez=ξeξ+ζeζ+ηeη

(9)

那么，动力学方程(8)该如何修改？通常是结合欧勒运动学方程写出其分量形式[2]，未见其矢量式．其实，该矢量式并不复杂，为

(10)

文献[2]“轴上的附加压力”一节中，所得方程中出现了ω2项，这正来自式(10)第一项．

式(10)证明如下：根据角动量定理和式(5)，有

(11)

(12)

而(eξ,eζ,eη)三者恰好固连于刚体，故而式(11)右边第一项为

另一证法是，当ω是常矢量时，刚体的角动量L一定固连于刚体，故而由式(12)有

把式(5)代入，即得式(10)右边的第一项．

也许会问：一般情况复杂，但定轴转动会简单一些吧？不会，文献[2]处理的轴上附加压力正是定轴转动情形．那难道没有简化情形吗？有，而且是两种．第一种是定轴转动，且只关心动力学方程的z分量．此时结果就是式(1)和(2)．第二种是刚体的转轴恰为其惯量主轴，此时矢量式(3)和(4)都成立．

文献[5]、[6]也谈及了刚体力学和质点力学的平行性，但只是把定轴转动的z分量公式与质点一维运动情形做了对比，未推广到矢量式．文献[6]着重提醒：这种平行性可以帮助记忆，但并非基本．在逻辑上，先有质点力学；加上牛顿第三定律得到质点系力学；再加入刚体假设，才有刚体力学．如果觉得刚体的转动与平动(或质点运动)在非常基本的层面上平行，就有可能将已有结果贸然推广到三维矢量情形，犯下错误．

最后要说明的是，本文所谓的“矢量式”，仅指其坐标无关性，形式上抽象、紧凑，并非真的仅指矢量，因为本文中还涉及二阶张量．

参 考 文 献

1 张明铎，郝长春，莫润阳，等.刚体与质点动力学关系的内在统一性.物理通报，2016(10)：25～28

2 周衍柏.理论力学教程(第3版).北京：高等教育出版社，128～144

3 漆安慎，等.普通物理学教程·力学(第二版).北京：高等教育出版社，2005.221

4 张汉壮，等.力学(第三版).北京：高等教育出版社，2015.153

5 黄亦斌，等.大学物理(上册).北京：高等教育出版社，2012.52～53

6 黄亦斌，等.新编大学物理教程.北京：科学出版社，2017.51～52

Vector Formula on Rotation Equation of Rigid Body——Also on the “inner consistence” with mass point dynamics

Huang Yibin Zeng jianping

(Jiangxi Normal University,Nanchang,Jiangxi 330022)

Peng rongrong

(Nanchang Institute of Science and Technology,Nanchang,Jiangxi 330022)

The angular momentum formula and equation of rotation in rigid body mechanics are analyzed.It is pointed out that the tensor of the moment of inertia is not constant,and some related vectorial formulas are obtained.The common misunderstanding of the formulas L=Jω and M=Jβ are analyzed.

rigid-body dynamics;rotation around a fixed axis;the moment of inertial;vectorial formula

2017-01-09)