浅谈几何证明

才让吉

摘 要：几何证明，就是用理论演绎的方式，来断定图形的真实性质的记叙。证明的主要任务是在于说明为什么在一定条件之下必然产生一定的结论，即要提出根据，证实结论的真确性，揭发它们之间的内在联系。几何证明的步骤包括分析、证明、整理三大部分，必要时在证明期间可以用到举例法证实证明的成立性。在实际生活中，我们也要利用几何证明来解决实际问题。大到建筑工程的设计，小到一个汽车金属配件都会用到几何证明。用已知的一些知识体系来谈几何文化，虽然我对几何知识的学习也有很多不足和了解不深入、不透徹之处，但是随着我学习的深入和阅读大量的文献及对本文更加深刻的理解，已有的这些不足、不深入、不透彻之处我将认真的弥补。

关键词：几何证明 综合法 分析法 解图

1.几何证明概述

1.1定义

几何证明的定义是首先从某几何的中已知条件、概念和定义出发，用公式来证明命题。所以我们必须把握定义和公理及定理中设题、结论和图像“三个要素”。如：

例1 设直角三角形ABC的直角顶点为C，斜边AB的中点为D，则CD=AB.

证明：如图1-1所示，延长CD，使CD=ED，则有DA=DB，DC=DE，∠C=∠B。

所以ACBE是矩形。∴CE=AB，∴CD=AB

在例题1中我们利用已知条件来推到证明的过程，然后寻求未知条件。在已知条件中我们还可以考虑按照题目来画几何图（图1-1），显然容易证明题目的要求。

1.2经典证明

数学是一门严谨的科学，得出的结论都要经过严格的证明。在中学数学中，除了代数运算或几何运算之外最多的是几何证明。几何证明的经典方法可分为三个方面。

第一、在已知情况的条件下，我们可以很轻松的通过推理理论，结出证明。

第二、通过求证，分析出证明依据的论点，找到已知条件。

第三、通过以上两个方面，找出他们之间的联系，将思维过程完整化。

2.几何证明的基本方法

2.1综合法和分析法

在几何证明过程中我们常会利用两种方法来证明，比如；直接方法和简介方法，其中简介有两种，反证法和同一法，反证法也有两种，归谬法和穷举法。总的来说就是综合法和分析法。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公里等，经过一系列的推理证明，最后推到出所需要证明结论成立。这种证明方法叫做综合法。

一般地，从证明的结论出发，追步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公里等）为止，这种证明方法叫做分析法。

3.几何证明的基本步骤

3.1分析

分析是几何证明的第一条件，当然也要了解题目的内容，要清楚题目给了什么条件，用什么方法，然后要详细分析，一般情况下，分析题目时应该找出相关的定理、定义、概念、公式等等。另一方面，要根据命题画图，在画图时要寻找图的特点来解图证明，但有些图没法直接证明，所以经常会用到中线、切线、平分线、等辅助线来解决。一般情况下，几何证明过程中不写分析的过程，除非是特殊情况，但在脑海里一定要有详细的分析，否则容易证错。

3.2证明

一般情况下，证明是要把某个题目的内容了解清楚，然后详细的分析后，利用已知条件或者未知条件来一件一件证明，证明时一定要把心路历程写清楚有逻辑又不繁琐冗长，证明的推理过程是最重要，也可以说在几何证明的命是证明的过程，所以证明的过程是必须要的，在证明时可以找出很多辅助线来简化证明。

3.3整理

整理是根据已知对求证进行证明的结果。如：

例5如图3-1所示，已知在△ABC中平分外角∠EAC，∠B=∠C。

求证：AD∥BC

分析：要证AD∥BC.∠EAD=∠B.由∠B=∠C（已知条件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）EAC=2∠B又由AD平分外角∠EAC∠EAC=2∠EAD2∠EAD=2EAD=2∠B∠EAD=∠B

注：分析中使用符号“”是表示“需证”的意思。根据上述分析以及分析法与综合法之间的关系，不难写出本体的证明过程。

证明：∵∠B=∠C（已知条件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∴∠EAC=2∠B（等量代换）

又∵AD平分外角∠EAC（已知条件）

∴∠EAD=2∠B（角平分线定义）

∴AD∥BC

总之举例法是在学几何证明中最通用、最基础的、不可缺少的方法。我们经常利用举例法进行证明，当然这三个证明的方法也要熟悉了解。无论几何证明还是现实生活中有都会有与这个相似的例题。

结束语

从我小学升入初中再到高中的数学学习过程中，几何成为了我学习中最大的障碍，几何证明的难度也很大。因为几何基本都是抽象的概念，需要较强的逻辑思维能力和空间想象能力，所以很多学生都不愿学。

我们生活中最熟悉最常见的例子来分析，先从几何证明的概念和定义作经典的证明，再从几何的基本思路及方法和几何证明的基本的步骤。一般来说正确的数学结论的形成需要“发现”和“证明”两个主要阶段，在这两个阶段中都包含着“过程”。

参考文献：

[1] 钱华.初中几何证明教学研究-从说理到证明[J].2008.湖南师范大出版社.2008.

[2] 许莼舫.许莼舫初等几何四种[M].中国青年出版社.1978.

[3] 张玲钓.浅谈初中几何证明的教学[J].甘肃教育出版社，2009.

[4] 张震康.浅谈几何证明的方法及思路[J].语数外学习杂志社.2012（4）

[5] 王兵.几何学的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2009.

[6] 朱德祥.朱维宗.初等几何研究[M].北京：高等教育出版社，2003.1：13-14

[7] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.数学（选修2）[M].北京：人民教育出版社.2007.

[8] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.数学：几何证明选讲（选须4—1）[M].北京：人民教育出版社.2007.