浅读正、余弦定理解题功能

宋惠

摘 要：随着社会经济的快速发展，人们的生活质量有了显著提高，越来越多的人开始关注教育，重视课程体系对学生学业学习的影响，作为高中数学中较为基础的定理，正弦定理和余弦定理的学习不仅包括对其原理的证明，同样也包括对其解题技巧的理解，这便要求教师从定理出发，联系先前学习的三角函数，结合当前学生学情，有方法有技巧的进行解题技巧的讲授，适当进行模拟训练，以锻炼学生数学思维，提高其对定理的理解与运用。

关键词：正弦定理 余弦定理 解题功能

引 言

众所周知，在进行三角函数相关题目的分析时，如何运用正弦定理与余弦定理不仅决定着解题的思路与方向，同样也决定着题目解答过程的进展程度，影响着题目能否解答。在进行三角形相关题目的分析时，往往会出现已知部分要素求解未知要素的情况，这便要求解答者合理運用正、余弦定理以及其变式，对题目已知条件进行分析，进而得出未知要素的数据。由此可见，正、余弦函数的原理证明以及其解题功能至关重要，是高中数学教学中极为重要的部分，理应受到教师的重视与关注，这不仅是高中课程标准所要求的内容，同样也是教育改革发展所要求的内容。

一、知识点分析

（一）、定理的原理分析。众所周知，正弦定理即在任一三角形中，其对边与对角的正弦值的比恒为一个常数，余弦定理即三角形任一一角的余弦值均可用含有其三边的数学表达式进行表达，这不仅说明三角形的边与角具有一定的量化关系，同样也说明已知三角形的部分要素，可以通过定理求解其未知要素，是高中数学三角问题中较为常见的定理，是三角函数的进一步运用。该定理的证明可通过在直角三角形中，借助三角函数进行边与角的分析，得出其定理表达式，并推导到一般情况，从而验证对所有三角形，该定理均成立。

（二）、定理的重要性分析。正、余弦定理的学习不仅能够使学生理解三角形要素之间的关系，了解解三角形的基本步骤，同样也能促进其几何思维的形成，锻炼其逻辑思考能力，提高其个人基本的学科素质与科学作风。另一方面，通过对正、余弦定理的学习，学生将回顾先前所学的三角函数，为后续解三角形打下基础，以此体现正、余弦定理的解题功能，促进学生数学思维习惯的形成。

（三）、定理的运用分析。众所周知，在进行解三角形问题的解答时，通过分析题目中已知要素条件，明确未知要素与求解要素，分析其边角间的相关联系，探讨正弦定理与余弦定理的选取与表达式，以此求得所需要素条件，进而对题目进行解答。这不仅体现出较为明确的逻辑思考过程，象征数学思维的运用，同样也体现出正、余弦定理的解题功能，是对定理原理的进一步理解与运用。

二、知识点归纳

（一）、正、余弦定理的证明。众所周知，正、余弦定理的证明以直角三角形为由，通过对直角三角形中边与角进行分析，探讨其之间的量化关系，并借助三角函数进行表达，得出初步的表达方程式，并在锐角三角形与钝角三角形的情况下进行一般性验证，以得到该表达式的一般方程，从而得出定理。

（二）、正弦定理的不同形式。正弦定理表达的是三角形边与其角的正弦值之间的相互关系，通过对其方程的变形，可以得出以下变形式：

形式一：，其中R表式该三角形外接圆的半径。

形式二：，表式的是角到边的关系转换。

形式三：，表达的是边到角的关系转换。

（三）、余弦定理的不同形式

余弦定理表达的是三角形角的余弦值与其三边之间的相互关系，通过对其方程的变形，可以得出以下变形式：

形式一：，表达的是其边到角的转换过程。

形式二：；

；，表达的是其角到边的转换过程。

三、正、余弦定理的解题功能

（一）、已知两角及其对边条件

众所周知，在解三角形问题中，题目往往会给出已知边或角的条件，这便要求答题者在进行题目分析时充分理解题意，合理进行正、余弦定理的选取。在遇到已知两角及其一边的条件时，答题者理应从边角关系入手，选取正弦定理进行解答，例如：在中，已知、、a=1，求解b，该题目可通过正弦定理直接求解。

（二）、已知两边及其对角条件

在了解已知两角及其对边，求解另一边的问题后，已知两边及其对角，求解另一角的问题也可用相同方法进行求解，例如：在中，已知、，求解，该题目同样也可通过正弦定理直接求解，值得注意的是在求得的数值进而解B时，需要分析其角的大小关系，以此确定其解的唯一性。

（三）、已知两边及其夹角条件

众所周知，题目在提供已知边与角的数值时，往往也会出现已知两边及其夹角，求解第三边的情况，这并不满足正弦定理及其任一变式，也无法借助外接圆进行求解，在这种情况下，余弦定理运用便显得至关重要，例如：在中，已知，求解b，该题目可通过余弦定理的变形式直接求解。

结 论

由此可见，正、余弦函数的解题功能不仅表现在其对三角形求角问题的解答，同样也体现在其对三角形求边问题上的解答。在已知两边一角或两角一边的情况下，通过对三角形已知要素的分析，合理运用正、余弦定理的变形，借助三角函数定义，对三角形未知要素进行求解，以获得题目所需数据，从而完成三角形相关题目的解答，这不仅体现出正、余弦定理的解题功能，同样也象征着定理与题目间的相互关系，是教学过程中极为重要的分析部分。

参考文献：

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