基于市场价格冲击的最优执行问题研究

诸葛丹++宋斌

[摘要]文章在随机控制理论以及动态规划原理的框架下，用瞬时冲击以及永久冲击对价格冲击过程进行建模，然后利用随机控制的相关理论，应用Hamilton-Jacobi-Bellman方程以及求解常微分方程的方法，得到了最优执行策略的解析解。结果显示，适当的存货惩罚有利于加强金融市场的稳定性，有利于减少集中买卖情况的发生。但惩罚的力度不能过大，否则会起到反作用，使得投资者在期初就集中大量卖出。而终端惩罚的设定有利于投资者在交易时间内有计划地买卖股票，减少了集中买卖的发生。文章的研究对市场的机构投资者以及监管机构都有着重要的理论指导意义。

[关键词]随机控制；HJB方程；最优执行策略；价格冲击

[DOI]1013939/jcnkizgsc201723015

1引言

在传统的金融理论中，我们通常假设市场的流动性是无限的，任何订单都能够无须额外成本地立刻被执行，然而在现实的金融市场中，机构投资者的大额交易，往往能够对股票市场产生巨大的冲击，以致股票价格剧烈波动，因此导致了执行成本的产生，甚至执行成本一般会很高。由此可见，价格冲击是影响金融市场流动性和稳定性的重要因素，对价格冲击成本的研究有助于笔者在指导交易的过程中降低交易执行成本。在这个高频交易的时代，无疑对机构投资者有重要的意义，有助于投资者通过最优化方式最大化自己的利润，也有利于在监管者在高频交易的时代制定有效的政策措施。

在金融市场中，价格冲击主要是指市场参与者买卖资产导致的资产价格的变动。例如，在投资者大量买入股票时会导致股票价格快速上涨。市场价格冲击往往与市场流动性密切相关，流动性越差，交易导致的价格冲击也就越大。我们总是假设市场具有无限的流动性。然而，实际情况却并非这么理想。当交易量很大时，因为流动性有限，就会对市场价格造成明显冲击。由此可见，传统的金融模型将流动性假设为无限具有一定的局限性。由于流动性的限制，在价格冲击领域中，越来越多的学者开始研究最优执行问题，即投资者如何将大单进行分割，才能在一定时间段内执行以达到价格冲击成本最小化，从而实现最大收益。

2模型假設

对价格冲击的建模过程将采用瞬时性以及永久性价格冲击的方法。这种建模方法的好处在于将冲击过程分解为两部分，在一定程度上简化了优化过程中的计算，使得建模求解过程更加简便。

首先，在研究最优执行问题的过程中，我们需要对存货过程、股票价格过程、交易价格过程以及持有现金流过程进行建模。主要变量如下。

ν=（νt）{0≤t≤T}指交易速率，是投资者单位时间内买卖股票的数量。

Qν=（Qtν）{0≤t≤T}指存货，是投资者手中在特定时刻持有的股票数量。

Sν=（Stν）{0≤t≤T}指价格，是两次交易价格的平均值，主要用来衡量价格波动过程。

S^ν=（S^tν）{0≤t≤T}指交易价格，是投资者买卖股票的实际价格。

Xν=（Xtν）{0≤t≤T}指持有现金，主要用来描述投资者买卖股票而导致的持有现金流的变化过程。

根据以上定义，笔者可以这样描述以上几个过程。

（1）存货过程：随着不断交易导致的持有股票数量的变化

dQtν=±νt dtQ0ν=q（1）

（2）股票价格过程：

dStν=±g（νt）dt+σdWtS0ν=S（2）

其中，W=（Wt）{0≤t≤T}是标准布朗运动，σ为波动率；

g：R+R+表示交易行为对中间价格的永久性价格冲击。

（3）交易价格过程：

S^tν=Stν±f（νt）S^0ν=S^（3）

其中，f：R+R+表示交易行为对执行价格的瞬时性价格冲击。

（4）持有现金流过程：

dXtν=±S^tν νt dtX0ν=x（4）

在股权市场上，一只股票的基础价格主要是由市场对公司业绩以及未来发展潜力等基本面信息来确定的，未来的信息会直接反映到股价上，而导致了一个基础价格的变动。因此笔者在式（2）引入一个布朗运动来描述这个随机波动部分，写出没有价格冲击影响下的股价的变动过程。

3最优执行问题

31模型描述

假设这样一个场景，在初始时刻t=0时，投资者持有股票Q0ν=R，他需要在终端时刻T将这些股票出清，否则将必须在T时刻以市价单卖出其余股票，因此最终必然会击穿订单簿上的多档价格，使得最终交易的平均价格比T时刻小。我们假定价格变化是连续的，α为每单位股票卖出在T时刻带来的价格变动，从而只能得到QTν（STv-αQTν）的收入。而且，在交易过程中始终存在着一个与持有头寸的二次方成正比的存货惩罚，比例系数为β。为简单起见，我们仍然假设瞬时性以及永久性价格冲击都是线性的，分别是f（ν）=kν，k>0以及g（ν）=bν，b>0。因此，该出清策略的期望成本：

ECν=RS0-E[XTν+QTν（STv-αQTν）-β∫0T（Quν）2du]（5）

在此基础上，需要求出期望成本最小化时的最优执行策略ν*。

首先我们可以定义对于任意一个策略v，可以得到一个价值函数有如下形式：

Hv（t，x，S，q）=Et，x，S，q[XTν+QTν（STv-αQTν）-β∫tT（Quν）2du]

因此最优策略下的价值函数H（t，x，S，q）应当满足H（t，x，S，q）=supν Hv（t，x，S，q），根据动态规划原理以及随机控制理论，由Hamilton-Jacobi-Bellman方程可得：

t H+12 σ2 ss H-βq2+

supν {（S-f（v））νx H-νq H}=0endprint

H（T，x，S，q）=x+qS-αq2（6）

解这个方程，使得（S-f（v））νx H-νq H最小，即一阶导数为0时，求得：

ν*=12k（Sx-bS-q）Hx H

将ν*代入（6）式，得到一个确定性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程：

t H+12σ2 ss H-βq2+14k[（Sx-bS-q）H]2x H=0（7）

因为H（T，x，S，q）=x+qS-αq2，为了简化运算，我们不妨将价值函数做如下近似变换，使得求解过程中未知函数部分h的维度降低：

H（t，x，S，q）=x+qS+h（t）q2

h（T）=-α（8）

因此，将变换之后的（8）式代入ν*以及（7）式中，得到如下结果：

0=th-β+1k 12b+h（t）2（9）

ν*=-12k（bq+2h（t）q）（10）

由此我们就将求解H的偏微分方程简化为求解h（t）的常微分方程，即（9）式。在求解h（t）的过程中，我们首先假设h（t）=-12b+χ（t），相应地，νt*=-χ（t）k Qtν*。所以（9）式可以写成：

t χkβ-χ2）=1k

χ（T）=12b-α

解得：

lnkβ+χ（T）kβ-χ（T）-lnkβ+χ（t）kβ-χ（t）=2βk（T-t）

即，h（t）=-12b+kβ1+ζe2βk（T-t）1-ζe2βk（T-t）

其中，ζ=α-12b+kβα-12b-kβ

又因为dQtν=-νt dt，所以dQtν*=χ（t）Qtν*k） dt，积分可得：

Qtν*=R×exp∫t0χ（s）k ds=

R×explnζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkT=

ζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkTR

νt*=βkζeβk（T-t）+e-βk（T-t）ζeβkT-e-βkTR

以上的Qtν*、ν*t即为最优策略下的持有头寸以及交易速率的表达式。

32数值实例

为了能够更加清晰直观地表现最优执行策略对各个不同参数的敏感性，我们引入以下数值算例。

（1）存货惩罚β力度不同时，最优执行策略的趋势会如何变化

由图1（a）可以看出，当存货惩罚力度非常小时，交易速率的变化非常平缓，且一直维持在一个较低水平，而交际者手中持有的存货几乎是呈现线性下降的趋势，但到交易时间结束，投资者仍然没有完全卖出持有股票，将要集中的以市价单卖出。反之，当存货惩罚变得很大时，投资者都倾向于立刻卖出股票，因此交易速率在初始时刻非常大，并且急速下降，持有头寸的变化趋势也和交易速率一样，显得极为陡峭，以减少交易过程中支付的存货惩罚，由图1（b）可以看出，面临存货惩罚力度大的投资者在中间时刻已经卖出了大部分的股票。由此我們可以看出，存货惩罚的力度过大或者过小都是不合适的，存在一个适中的最优的存货惩罚系数，使得交易速率较为平缓，且满足期末出清。

（2）持有存货的终端惩罚α不同时，最优执行策略的趋势会如何变化

根据之前对模型假设的定义，我们知道α为每单位股票在终端时刻卖出时带来的价格变动，我们也可将其视为持有存货的终端惩罚。由图2（a）和图2（b）可以看出，随着终端惩罚不断加大，即α的增大，持有头寸下降的速度越来越快，投资者倾向于在T时间段内较为有计划地将股票出清，而不会选择留下一部分股票在最后以市价单卖出。

4结论与展望

本文在随机控制理论的框架下，研究了金融市场的最优执行策略。为了避免集中性的大单交易会对市场价格造成过大的冲击进而使投资者承担更多的执行成本，投资者都会更加愿意将大额订单拆分成较小规模的子单进行下单交易。本文的策略主要通过求解HJB方程，并通过数值方法以图像的形式直观地展现，对金融市场以及金融机构投资者有着重要的理论指导意义。

研究结果表明，适当地引入存货惩罚以及终端惩罚，有利于投资者在一定的交易时间内更加有计划地逐步交易股票，而减少了在期初或期末集中买卖的情况，进一步增加了金融市场的稳定性，大大减少了资本市场的波动，使得股票市场更加平稳健康地运行。

随着全球范围内经济的发展，大规模基金不断涌现。但对于机构投资者来说，由于证券市场流动性有限的原因，大额订单的交易会在短时间内带来股票价格的剧烈波动，从而使得他们承担太大的执行成本与价格冲击。因此，研究基于价格冲击的最优执行问题有着极为重要的意义。而计算机技术的发展，也给我们开发高频交易策略带来了可能性。

参考文献：

[1] Schied A，Schneborn TRisk Aversion and the Dynamics of Optimal Liquidation Strategies in Illiquid Markets[J].Finance and Stochastics，2009，13（2）：181-204

[2] Gatheral J，Schied ADynamical Models of Market Impact and Algorithms for Order Execution[J].Social Science Electronic Publishing，2012

[3] 储小俊，刘思峰在随机非线性价格冲击下的最优变现策略研究[J].中国管理科学，2007，15（5）：137-142

[4] 胡小平，何建敏，吕宏生非线性价格冲击函数下的最优变现策略[J].控制工程，2008，15（1）：22-24endprint