导数几种问题的解题分析

赵星舒

导数在几种问题，尤其在求函数的极值、单调性等方面，求解非常方便、简洁。同时，衍生出的拉格朗日算法为解决最优化问题提供了几乎无可取代的作用，不仅拓宽了解题方法，而且加快了解题速度。以导数在函数极值、单调性中的综合应用与拉格朗日乘数法为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

导数极值单调性拉格朗日乘数法导数是中学乃至大学数学中微积分部分的基础知识，譬如复变函数、泛函等都是以导数作为基础。导数是具有研究功能和解决实际问题的有力工具。通常来说，导数可以从不同的角度灵活考察知识的综合运用和解决数学问题的能力。所以，导数问题是高考数学的重头戏，与此同时，导数与不等式、数列、函数等知识的交集命题，应用数学知识解决综合能力问题已成为今后命题的趋势和特点。本文试图以导数在函数最值及单调性中的应用与拉格朗日乘数法为例，通过几个问题总结导数的解题思路与方法。

一、導数在求函数极值中的应用

高中数学中一个核心的问题就是函数中的最值问题，与此同时，也是一个判断学生数学优劣的分界点。在高中课本引入导数以前，存在许多种求函数最值的方法，但是高中课本引入导数后，不仅对于许多求最值类型的题目来说多了一种解题的思路与方法，更是成为了一种解决问题的简便方法。

二、导数在求函数单调性中的应用

导数可以判断函数的增减性，在函数的一阶导数为零的点为增减分界点，一阶导数大于零，函数在有效区间内单调递增；反之，一阶导数小于零，函数在该区间内单调递减。利用函数的单调性可以很明了的绘画出函数的大致图像，对函数的增减性有很强的直观性，能够很简便的求出函数的单调性。下面列举以下题目进行解答以说明导数在求增减性中的作用。对于这种超越函数求单调性一般比较复杂，尤其在引入参数后会使问题变得极其复杂。

问题分析：（1）对于给定求函数单调性问题，看清题目所给条件，一般来说，若给条件是函数存在极值，则可推得导数存在零点，且零点非驻点。（2）本题中，不仅需要求函数的单调性，还需要求参数的取值范围。同理，根据所给条件，可确定函数存在零点，后求出极值点对应的x值，进行分类讨论即可。本题也与上一节联系紧密，说明导数的应用穿插于各类问题当中，用途广泛。

三、总结

总之，导数作为大学课程《高等数学》中微积分的学习基础，在新课标的课程大纲中，将导数移至高中数学的学习，虽然，高中数学课程的学习内容增加了，但由于导数本身具有极强的实际应用性，能够非常好地解决一些例如极值问题、最值问题，在单调性问题、不等式证明等问题，并且在这类问题中具有突出的实际运用性，是高中数学学习过程中的一个很好的学习工具。与此同时，导数是在各类考试中重点的考试内容，霸占非常大的分数比例，一般试卷压轴题出导数的题目概率及其之高。因此，在学习导数过程中要注意理解导数的一些常规运用并且理解导数的意义，在基础问题方面勤加练习，做到举一反三，同时熟练的掌握导数的运用，才能在考试中发挥出理想的实力。

参考文献：

[1]常利军.探析导数在高中数学中的应用[J].语数外学习，2013，（05）：7+9.

[2]康丽坤.导数在数学解题中的一些应用[J].青春岁月同，2012，（02）：186-187.

[3]韦洲.导数在高中数学解题中的运用[J].新课程，2014，（10）：87.endprint