微分方程在时域分析教学中的应用探讨

郑丽丹

将学生熟悉的微分方程求解，应用于自动控制理论的时域分析法的教学中，以二阶系统为例，详细讲述了推导过程，得出了阻尼比在不同取值范围内时输出响应的时域表达式的具体情况。在学生学过的旧知识和即将要学的新知识之间架起了桥梁，使学生体会到学以致用的快乐，取得了良好的教学效果。

微分方程时域分析二阶系统本文提出利用高数中二阶微分方程的求解来得出二阶系统中阻尼系数ζ在不同取值区间内的响应情况，总结规律，联系物理学的实际，便于学生记忆和掌握。

一、推导过程

显然，上述方程为高数中的二阶常系数非齐次线性微分方程，根据数学理论，容易得知，c（t）的解由通解和特解两部分组成，本式中特解为常数1，通解根据微分方程对应的特征方程的特征根的不同情况，有如表1中三种形式。

已知ωn≥0，故，只需依次分析ζ在不同取值范圍内对应的输出响应的通解形式，就可以得出相应的规律。

1.ζ<0

（1）ζ<-1时，对应的特征根形式为上述表格第一种情况，且S1>0，S2>0，得到输出响应在t≥0时，单调发散。

（2）ζ=-1时，对应的特征根形式为上述表格第二种情况，且S1=S2>0，得到输出响应在t≥0时单调发散

（3）-1<ζ<0时，对应的特征根形式为上述表格第三种情况，且α>0，得到输出的表达式：

由于C3>0且α>0，在t≥0时，可得输出为一发散形式正弦振荡曲线，不能收敛。

综上所述，在ζ<0时，系统发散，在控制系统中，不满足自动控制系统最重要的性能指标即稳定性，因而没有研究的必要。

2.ζ=0

ζ=0时，对应的特征根形式为上述表格第三种情况，且α=0，得到输出的表达式：

输出表达式为正弦函数，等幅震荡，既不收敛，也不发散，是收敛与发散的临界状态。

3.ζ>0

（1）0<ζ<1时，对应的特征根形式为上述表格

第三种情况，且α<0，得到输出的表达式为式（6）

由于α<0，eαt收敛，可得输出为震荡收敛过程，即为欠阻尼过程。

（2）ζ=1时，对应的特征根形式为上述表格第二种情况。由于S1=S2<0，故：

且eαt收敛，可得输出为单调的收敛情况，无震荡，该情况即为临界阻尼情况，是系统有无震荡的临界状态。

（3）ζ>1时，对应的特征根形式为上述表格第一种情况，由于S1<0且S2<0，可得输出为单调的收敛情况，无震荡。

综上所述，ζ>0，自动控制系统具有稳定性，可以作为实际的控制系统使用。

学生们在学习时，可以联系物理学中的实际，物理学中我们知道没有阻力情况下，物体会保持无限匀速运动，这就可以解释为什么在自动控制原理中ζ定义为阻尼系数，可以认为ζ即为系统受到的阻力作用。

当ζ=0时，相当于无阻力，所以输出保持正弦震荡，既不收敛，也不发散。

当ζ<0时，可以认为是与阻力相反方向的力，即与运动速度方向相同的力的作用，会导致速度增大，因而系统发散。

当ζ>0时，系统具有阻力作用，因而速度会下降，呈现收敛的态势。

上述内容，只是笼统的分析二阶系统阻尼系数ζ在不同取值范围内的响应情况，虽然没有得出输出表达式的具体形式，但是已经可以得到在阻尼系数ζ取不同数值的响应特点，表达式较简单，方便学生对比记忆和掌握。

如果需要得到响应的具体表达式，用以分析超调量、调节时间等。我们只需把响应中的参数求出来即可，方法是利用传递函数的定义中要求的线性系统的初始条件为0的条件，我们以欠阻尼二阶系统为例进行分析如下：

由于非齐次线性微分方程的解为通解和特解之和，依据前面得出的欠阻尼二阶系统的通解和特解的值，可以得到欠阻尼二阶系统的解为：

二、结论

由于高数中二阶微分方程的求解为教师讲授及学生理解、掌握的重点内容之一，所以大部分学生对该知识点很熟悉，将自动控制时域分析中的二阶系统的响应的求法转化为二阶微分方程的解法，使得学生对新知识的陌生感消失。

同时，应用这种方法，总结规律，学生可以充分理解阻尼系数的意义，使得欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的概念易于理解和记忆。

本文中虽以较大篇幅给出了推导的过程，事实上，在讲授的过程中，老师只需将自动控制中的二阶系统与二阶微分方程之间的相同之处提出来，推导的过程完全可以指导学生独立完成，激发学生的学习兴趣，同时，取得较好的教学效果。

另外，微分方程的解法也适用于对自控系统中一阶及高阶系统分析。

参考文献：

[1]胡寿松.自动控制原理[M].北京：科学出版社，2013.71-75.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.259-276.endprint