风险的数学表示方法简介

部家琦

风险是我们在生活中常见的概念，金融市场中的风险也是投资理财过程中需要考虑的重要部分。随着越来越多的人开始参与金融市场，了解金融市场并进行相应的理财与投资，风险的概念开始广为人知。但是许多投资者只是了解风险的基本概念，对于风险的数学表示方法以及它们的深层含义以及优缺点了解并不清楚。在数学与金融的发展过程中，人们总结出了不同的风险度量手段，用数学语言来对风险的不同方面进行度量，了解这些不同的度量方式有利于加深我们对于风险本身的理解，同时更好地利用这些度量工具服务于我们的投资理财决策。

风险度量极差方差偏度标准差一、引入

风险是我们在生活中常见的概念，金融市场中的风险也是投资理财过程中需要考虑的重要部分。随着越来越多的人开始参与金融市场，了解金融市场并进行相应的理财与投资，风险的概念开始广为人知。但是许多投资者只是了解风险的基本概念，对于风险的数学表示方法以及它们的深层含义以及优缺点了解并不清楚。但是清楚地了解风险指标衡量的方面，了解他们的工作原理是我们理解投资理财风险特征的重要基础，对于这些指标的数学基础进行一定的学习可以帮助我们完善我们对于风险的认识。

在数学与金融的发展过程中，人们总结出了不同的风险度量手段，用数学语言来对风险的不同方面进行度量，了解这些不同的度量方式有利于加深我们对于风险本身的理解，同时更好地利用这些度量工具服务于我们的投资理财决策。本文从投资理财的收益率波动风险入手，介绍了包含极差、方差（标准差），偏度在内的不同的数学表示方式，对于风险指标进行了一个较为全面的总结与评价，以期达到以上目的。

二、风险简介

风险是我们在现实生活中常见的词汇，广义上的风险太过于粗略与宽泛，因此在本文中我们将风险局限于金融市场，讨论收益率的风险。在进行投资理财时，我们最关心的莫过于投资的回报，也就是收益率。在我们进行投资时，收益率往往不是确定的，这种收益率的不确定性我们就称其为风险。风险的可能来源多种多样，包括了市场风险，个体风险，流动性风险，信用风险等不同的组成部分。但是这部分不是本文重点，在这里我们就不做阐述。值得注意的是我们本文中介绍的公式都是离散情况下的计算公式，连续情况下需要用到统计学中的概率密度函数以及积分的知识，因此这里不做介绍。

但是离散情况与连续情况下的风险度量指标的计算思路与背后逻辑是不变的，对于这些指标的评价标准也是一致的。

对于某一个投资项目的回报率x，我们假设其在未来的收益率符合以下分布：

则我们可以通过以下公式算出其收益率的数学期望，即预估的用来衡量其将来回报率平均水平的指标。

值得注意的是实际上4.5%在未来的任何一种情况中都不会出现，它只是我们用各种情况下的回报率得到的一个加权平均，用来衡量该项目的平均收益水平。只能提现整体水平，并不能用来衡量某一种具体情况下的收益。

而我们可以看到，项目之所以存在不确定性，是因为分布概率的存在，即收益结果并不是确定的某一种情况，而是有多种不同的情况，每种情况对应了一定的概率，甚至会出现负收益率，即有所损失的情况。我们需要衡量这种不确定性的大小就需要界定标准，并采取相应的度量。

三、不同的度量方法

1.极差（Range）

极差的公式如下：

即简单的去查看回报率的最大值与最小值之间的差距有多大。极差衡量了回报率的波动范围，显然极差越大，说明潜在的波动空间越大，风险也就越大。极差越小说明了波动范围越小，回报也就越稳定。极差所包含的含义非常的直接，是用来刻画波动情况的最简单指标，可以简单准确地描绘出变量的变动范围。

但是我们也可以看出，极差是一个内涵非常单薄的度量方式，仅仅描绘了波动范围，却没有刻画波动率在这个范围内的波动程度，有可能变量其本身波动很小，只有极小的情况出现非常极端的值，但是这样的特征会被极差的计算方式所忽略，盲目地扩大风险度量。因此我们需要对波动程度进行进一步的准确刻画。

2.方差（Variance）

方差的公式如下：

方差所描绘的是不同情况下的回报率相对于其期望值的偏移程度，平方的目的主要是为了避免正向偏移与负向偏移互相抵消。方差可以解释为不同情况下回报率与数学期望值之差的平方的加权平均。这样的办法有助于帮助我们去查看在波动范围内部的收益率波动大小。方差越大则波动越大，方差越小则波动越小。从方差的计算公式我们可以看到，由于引入了加權平均的概念，概率Pi被考虑进来，因此在极差中我们提到的存在某些极端小概率事件的情况的问题被解决了，我们对于波动有了更进一步细致的描绘。

但是同时方差的计算仍然也存在以下几个问题：

方差公式里面涉及到平方运算，会使数值单位缺乏含义。例如当我们考虑的变量为个数时，方差单位个并没有现实含义。并且无法与我们的正常单位数值进行比较。又例如我们本文中讨论的回报率，百分数的平方为万分数，但是它与一般的百分数之间并不能直接进行比较。因此，我们又定义了标准差（Standard Deviation），其公式如下：

通过开方运算解决单位上的不一致问题，使得我们能够直接将标准差与其数学期望值进行比较。例如在本例中回报率均值为4.5%，但其平均波动有11.39%，因此说明其出现负值收益率的可能性较大。则侧面说明有可能带来的波动会造成较大的收益变动，方差公式同时考虑了正向偏移与负向偏移，通过平方以后这两种波动在这种计算方法中贡献基本相同，都为正值，无法区分波动的方向。但是在实际中我们非常关系波动的方向。因为我们有可能只关心某一方偏移。例如在本文中我们考虑的是投资收益率，但是投资者是不会担心投资收益率超出预期的情况的，因此这种情况他们根本无须考虑。对应的他们应该关注负面波动，即收益率低于平均预期的情况。因此我们又进一步地提出了偏度的概念。

3.偏度（Skewness）

偏度的公式与定义如下：

可以看到偏度用立方的办法解决了刻画波动方向的问题，由于正数的奇次方为正，负数的奇次方为负，我们在用立方放大波动幅度的过程中也保留了原本波动的方向，通过概率加权平均以后我们可以看到波动往哪个方向偏移。在本例中我们可以看到，收益率的偏度为正值，即总体来讲波动是往正向偏移的。

一般来说称Skewness<0的情况为概率分布具有负偏离，也称左偏态，此时左方（负面）波动的整体加权影响要大于右方（正面面）波动的整体加权影响；对应的，称Skewness>0的情况为概率分布具有正偏离，也称正偏态，此时左方（负面）波动的整体加权影响要小于右方（正面面）波动的整体加权影响。

4.在险值（VaR，Value at Risk）

注意区分在险值与方差的标记的不同。前者为VaR，而后者为VAR（也有人用Var）。

在险值从变量的分布出发，考虑不同确定程度下，变量的最小值。例如假如在本例中，投资者想要了解80%以上的可能性他可以获取多高的收益，这需要我们从回报最高的情况对应的概率开始，依次向左边较低回报率对应的概率进行加和，直到此加和为80%。在本例中，80%的置信度对应的在险值为-5%。也就是说他有80%的可能性可以将损失控制在5%以内，或者他的回报率有80%的可能性大于-5%。实际上现实中较为常见的使用的置信度为95%。实际的在险值计算公式可以用概率分布函数或者概率密度函数写出严格的公式，但是这里只是为了介绍在险值的核心思想，便不再赘述公式。

参考文献：

[1]范永华.以测量工具与决策的视野探寻方差与标准差的意义.上海中学数学，2012，（12）：37-39。

[2]杨军，张淑艳.论在险值在银行风险管理中的应用.国际贸易问题，2002，（11）：57-61.

[3]韩兆洲，杨林涛.极差、平均差和标准差之间测度关系研究.统计与信息论坛，2008，（04）：5-8.endprint