初中数学教材中的演绎推理

刘丽

演绎推理在数学学习和教学中起着至关重要的作用，推理能力也是数学核心素养之一。根据课标要求，以北师大版初中数学教材“图形与几何”领域为研究对象，通过内容分析法，进行内容编码、统计、分析和比较，探究教材中不同知识类目、不同演绎推理形式的数量和难度，发现教材中呈现的演绎推理，以三段论形式为主；在不同主题类目里，演绎推理的数量和难度不同。

演绎推理北师大版数学教材图形与几何内容分析法一、问题提出

史宁中教授曾在书中提出，至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。推理對数学本身的发展起重要的作用，当然，推理作为数学的基本思维方式，推理能力的培养和发展对学生的思维发展也起关键作用。

一般认为，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理，即从一般到特殊。数学课程标准（2011年版）中则这样定义：演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

本研究意在探究初中数学教材中不同知识类目，出现不同演绎推理形式的数量和难度，以北师大版初中数学教材“图形与几何”领域为研究对象。

二、研究方法

1.研究法与研究对象

本研究主要采用内容分析法，针对研究目的选定分析单位与建构类目，而后依照定义进行内容编码与统计。最后，针对不同知识类目中出现不同演绎推理形式的数量和难度进行比较与分析。本研究采用立意取样法，选择发行量和影响度较大的北师大版初中教材中“图形与几何”内容为研究对象。

2.类目分析与资料处理

本研究进行内容分析时，先以章为区分单位，再以出现次数作为分析单位。在分析类目上，根据课标，本研究将主题类目分为“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个方面进行分析。而目标类目则主要根据北师大版初中教材的编排，本研究将目标类目依次按教材中图形与几何部分从七年级至九年级分为“丰富的图形世界”“基本平面图形”，“相交线与平行线”等共16个向度。在演绎推理形式类目上，参考李俊秀在《数学中的推理和论证》一书中的分类方式，将形式类目分为“三段论”“假言推理”“选言推理”和“关系推理”四类。

在进行出现次数计数时，只统计相应教材内容的节名称至例题（包括例题）之间的内容，对应形式类目出现的次数。

三、结果与发现

根据概念界定对教材相应内容进行分析和统计，可以发现，整体趋势上，不同演绎推理形式类目在不同主题类目以及不同目标类目中的数量和难度都存在较大的差异，就不同年级，演绎推理的数量和难度也存在差异。由此，对统计的分析如下：

1.同一主题类目不同演绎推理形式数量之比较

根据课程标准及北师大版初中数学教材的编排方式，可将各目标类目归类至三个主题类目中，如下：“图形的性质”包括丰富的图形世界、基本平面图形、相交线与平行线、三角形、勾股定理、平行线的证明、三角形的证明、平行四边形、特殊平行四边形、圆；“图形的变化”包括生活中的轴对称、图形的平移与旋转、图形的相似、投影与视图、直角三角形的边角关系；“图形与坐标”包括位置与坐标。

由此可得各主题类目对应形式类目的统计如下表：

纵向观察表1，整体而言，三段论形式的演绎推理出现的数量最多，关系推理次之，而选言推理则出现得最少。针对同一主题类目，在“图形的性质”中，三段论出现最多，依次为关系推理、假言推理及选言推理；在“图形的变化”中，情况与整体及“图形的性质”类目相似；而在“图形与坐标”中，各种演绎推理形式出现都较少，时而会出现三段论及关系推理的推理形式。这与三段论是演绎推理的一般模式这一结论一致。

2.不同主题类目间演绎推理数量及难度之比较

每一主题类目中包含的目标类目种类数量有相差较大，根据课标可知每一类目的目标及课程内容要求不同，而其中对图形的性质中的相关知识有更多演绎推理方面的要求，因此，针对不同主题类目，对演绎推理的数量及难度进行比较。

横向观察表1，无论对各类推理形式还是演绎推理的整体情况，出现次数都是图形的性质多于图形的变化，多于图形与坐标，这与每一主题类目本身所含内容多少及课标要求都有关系，并且都有较为合理的结论。而对于难度，一般而言，“图形的性质”中出现的演绎推理比其他两个主题类目中的更难些，如下教材中的两个例子：

如上两个例子，例1比例2整体出现了较多三段论，需要较多定义、定理等的支撑，相对来说会更难些。

四、研究结论

通过上述分析，较之课标要求及学生的思维水平发展，可得出以下几个结论：在初中“图形与几何”领域中，北师大版教材出现和呈现的演绎推理，大部分为三段论形式，其中伴随一些其他形式，如关系推理等，根据课标要求，要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式，在这点上，事实上教材体现得较好，但也可适当的增加一些其他形式的演绎推理，让学生了解演绎推理形式的多样性；在不同主题类目里，演绎推理的数量和难度不同，也较符合课标要求，这也要求了教师在教学过程中要做好内容和学情分析，把握好授课的难易和精细程度。

参考文献：

[1]史宁中.数学思想概论（数量与数量关系的抽象）[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]李俊秀.数学中的推理和论证[M].陕西：陕西科学技术出版社，1984.

[4]王晓辉，赫晓玲.两类教材对初中生数学推理技能影响的比较研究[J].课程·教材·教法，2007，（11）：41-45.endprint