蚊子不同生理阶段的疟疾传播建模

李倩++王改霞

【摘要】本文建立和研究了依赖媒介（蚊子）传播的疟疾传播模型，建模过程中考虑了蚊子吸血和产卵两个不同的生理阶段。

【关键词】疟疾；媒介；生理阶段

【基金项目】河南省高等学校重点科研项目（17A110030）；信阳学院院级科研项目（2016yb13）。

【中图分类号】O242.1 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）02-0015-02

引言

疟疾是一种传染性疾病，由疟原虫引起，通过蚊子叮咬传播。疟疾是世界上最常见也是最严重的热带传染病之一[1]。疟疾的发病率和死亡率较高，对人类生活和健康影响较大[2]，[3]。为了控制疟疾，我们应了解蚊子的生命周期和生理阶段。本文介绍一种新的控制疟疾传播的途径，通过观察蚊子的种群数量，让其作为一个参数变量，建立疟疾传播动力学模型。考虑媒介与人类的数量关系。

一、预备知识

初值问题：

（2.1）

的解为（2.2）

二、模型的建立

本文在建立和研究依賴媒介（蚊子）传播的疟疾模型时，考虑蚊子的生理阶段，把蚊子分为两类：第一类是处于产卵阶段的蚊子，用U表示；第二类是吸食人类血液的蚊子，用V表示；这里U，V都表示雌性蚊子，因为我们知道吸血及喂养下一代的蚊子都是雌性蚊子，所以我们不考虑雄性蚊子对人类的影响，这种分类是在研究疟疾传播时的一个新的分类方法。然后把人类和媒介（蚊子）分为易感类和染病类，这样就有6个变量，所有人类系统中的变量和参量都带上下标h，而媒介系统的则分别带上下标u和v。因此，在任一时刻t，人类的易感和感染数量用Sh（t），Ih（t）表示。媒介系统中：产卵阶段和吸血阶段的易感和感染媒介数量分别用Su（t），Sv（t）和Iu（t），Iv（t）表示。用Nh（t）表示t时刻的总人口数，则Nh（t）=Sh（t）+Ih（t），用Nm（t） 表示t 时刻的媒介（蚊子）的总数，则Nm（t）=Su（t）+Sv（t）+Iu（t）+Iv（t）。

在给出数学模型之前，我们先做出下列假设：

（H1） 对于人群，新出生的婴儿均为易感者，为了简化模型，我们让人类的出生率λh和死亡率μh一样，均为μh；人类的康复率为rh，并且不考虑因病死亡，即人口是个常数。

（H2）对于蚊子，我们只考虑雌性蚊子，并且新出生的蚊子均为易感者，假设蚊子的增长按照logistic函数增长：。这里λ0是一个正的常数，L>0是环境的最大容纳量，θ=Su 或是θ=Iu。

（H3）两类媒介（易感类、染病类）的自然死亡率相等，均为μv。

（H4）易感媒介仅被染病人群传染，易感人群仅被染病媒介传染。人类从易感到染病是由Sh（t）和Iv（t）接触的结果，且疾病的传播依赖于二者之间的接触率，当Iv（t）成功的与一个Sh（t）接触并吸血，设其接触率为βh，则人类的方程为：

（3.1）

系统（3.1）中两个微分方程相加，可得到关于总人口Nh（t）的微分方程：N′h=0，这表明总人口是个常数。接下来我们来讨论媒介种群的变化情形，当Su（t），Iu（t）类媒介以λv为出生率繁殖下一代时，由于它们出生后都是易感者，这会使新一代Sv（t）增加，则其下一代是：avλv（Su（t））Su（t）+avλv（Iu（t））Iu（t）其中av是蚊子吸食血液后成功的回到蚊子的栖息地的概率，另一方面，如果Su（t）类蚊子被Ih（t）感染，则Su（t）转换成了Iu（t）类到达蚊子的栖息地后，产卵后变成了Iv（t），从而增加了Iy（t）的数量。新出现的Sv（t）接着会去人类居住地吸血完成它自己的生命周期。如此反复。另外Sy（t），Iy（t）均以μv的自然死亡率而减少，所以我们得出吸血媒介（蚊子）的动力学方程为：

（3.2）

下面考虑产卵蚊子的动力学方程。一旦Sv（t），Iv（t）从蚊子的栖息地到达人类的居住地，它们就开始叮咬人类。且有以下分为四种情况：

1.当一个Sv（t）成功的从一个Ih（t）那里吸血，且接触率为βv，成功的可能性为q，这时蚊子变成Iu（t）类，失败的可能性为1-q，这里假定蚊子吸血失败后死亡，（以下三种情况也按照这种假设）这种情况会导致染病媒介的增加。

2.如果一个Sv（t）成功的吸食了一个Sh（t），设其接触率也为βv，成功的可能性为p，则这时蚊子变成了Su（t），同样的失败的可能性为1-p，这种情况不会产生新的染病类。

3.当一个Iv（t）从一个Ih（t）那里吸食血液，接触率为βh，成功率为p1，这只蚊子就变成了Iu（t）类，另外它失败的可能性为1-p1，这种情况没有新的染病类的增加。

4.若一个Iv（t）从一个Sh（t）那里吸取血液，接触率为βh，成功的可能性为q1，这里蚊子就变成了Iu（t）类。它失败的可能性为1-q1，这种情况会增加人类的染病数量。根据以上叙述可以得出产卵蚊子的动力学方程为：

（3.3）

接触率βv，βh分别表示易感类蚊子和染病类蚊子对人类的不同的接触率。为简化模型，假设蚊子成功叮咬人类的概率p，q，p1，q1全部相等且用p表示。蚊子传播疟疾的仓室模型流程图可表示为：

根据以上的仓室图，可建立如下疟疾传播的动力学模型：

（3.4）

模型中的变量和参量均是非负的，且其意义分别如下：

系统（3.4）的可行域如下：

由于人类的人口总数是一个常数，若知道易感染者的数量，就知道染病者的数量。这里我们主要关注蚊子的种群数量变化对于系统的影响。

三、主要结果

定理4.1闭集

为系统的（3.4）的正向不变集。endprint

证明：

因为N′m=av[λv（Su（t））Su（t）+λv（Iu（t））Iu（t）]-μvNm-（1-p）（βvNhSv+βhNhIv）

则N′m≤av[λv（Su（t））Su（t）+λv（Iu（t））Iu（t）]-μvNm，

由于所有的人类和蚊子的变量都是非负的，并且有βh≥0，βv≥0和0≤p≤1，由前面的logistic方程知，若θ≤L则有λv（θ）≤λ0，因此，若Su≤L，Iu≤L，则：

N′m≤2avλ0L-μvNm，

若则。所以，闭集ψ是正向不变的。

更进一步，如果则系统（3.4）的解或者在有限时间内进入闭集ψ，或者Nm（t）在时间趋向无穷时分别渐进趋向。因此，闭集ψ吸引了R+4中的所有解。

四、小结

本文主要简单建立起模型，后面的研究中会一步的利用无量纲化简化模型，给出媒介（蚊子）数量绝灭与持续的阈值R*和媒介—人类相互作用的基本再生数R0的表达式。给出媒介的平凡平衡点，非平凡平衡点，媒介—人类的无病平衡点，地方病平衡点的存在条件。讨论以上平衡点的局部稳定性和后向分支的存在条件。

参考文献

[1]Z.Hawass，Y.Z.Gad，S.Ismail，et al，Ancestry and pathology in King Tutankhamun's family，JAMA 303（7）（2010）638.

[2]K.Dietz，L.Molineaux，A.Thomas，A malaria model tested in the Africa Savanna，Bull WHO 50（1974）347.

[3]World Health Organisation，The World Malaria Report 2009，WHO Press（2010，）Available at http：//www.who.int/malaria/world malaria report 2010/en/index.html.Assessed August 27，2011.

[4]G.A.Ngwa，C.N.Ngonghala，N.B.S.Wilson，A model for endemic malaria with delay and variable populations，J.Cameroon Acad.Sci.1（3）（2001）169.

[5]Ronald Ross，The Prevention of Malaria，John Murray，London，1911.

[6]G.Macdonld，The analysis of ifection rates in diseases in which superinfection occurs，Trop.Dis.Bull.47（1950）907.

[7]M.I Teboh-Ewungkem，C.N.Podder，A.B.Gumel，Mathematical study of the role of gametocytes and an imperfect vaccine on malaria transmission dynamics，Bull.Math.Biol.72（1）（2010）63.

[8]J.Labadin，C.M.L.Kon，S.F.S.Juan，Deterministic malaria transmission modle with acquired immunity，Proc，Wold Congress Eng.Comput.Sci.2（2009）779.

作者簡介：李倩（1988-），女，河南信阳人，硕士，研究方向：生物数学传染病模型。王改霞（1980-）女，河南信阳人，硕士，研究方向：生物数学传染病模型。endprint