循环矩阵的相关介绍

王玉涵

【摘 要】特殊矩阵在代数学中占有非常重要的地位，本篇文章主要介绍了一类特殊矩阵，循环矩阵的一些相关知识与重要性质，以及它现今的发展概况。

【关键词】循环矩阵；反循环矩阵；循环矩阵；逆矩阵

0 引言

循环矩阵起始于1885年，由Muir.T提出。 在代数学的矩阵论中，循环矩阵是一类很重要的矩阵，许多学者者对它进行了深入研究，并且得到了很多非常好的结论，它在诸多领域中都有着广泛应用[1-2]。如在图象处理、编码理论、石油勘探等方面经常被用到。 Solak在[3]中求出了古典Lucas数的循环矩阵的范数的上下界。 AhmetIpek[4]对这类矩阵范数的估算作了进一步改进。 在研究循环矩阵性质的过程中，有些数学工作者运用构造性方法求出可逆矩阵的行列式和逆矩阵。 江兆林教授等人[5]在有关k-Fibonacci数及k-Lucas数的循环矩阵的研究中，运用构造性方法讨论了其行列式及逆矩阵。 随着数学在应用方面的进展，循环矩阵在科學和工程领中的地位域越来越重要。

1 循环矩阵

定义1[6]复数域上阶矩阵称为右循环矩阵（或简称循环矩阵）。

从定义可以得，循环矩阵的每一行均由第一行按同一方向向右依序循环，循环矩阵所组成的集合可简记为。循环矩阵是由它的第一行所决定的。

性质1设C是 n阶循环矩阵，若C可逆，那么C的逆矩阵C-1也是n阶循环矩阵。

2 反循环矩阵

定义2[7]若把一个阶循环矩阵的主对角线以下的元素改变符号，就叫阶反循环矩阵。

例 2下面是一个三阶反循环矩阵

性质2若C是反循环矩阵且C可逆，则C-1也是循环矩阵。

性质3任何一个n反阶循环矩阵C在复数域上都可以对角化。

3 g-循环矩阵

定义3[7]如下形式的矩阵，

称为g-循环矩阵，其中g为任意整数，下指标以模n记录，即ai=aj，如果i=j（mod（n））.

【参考文献】

[1]D. Q. Fu， Z. L. Jiang， Y. F. Cui， and S. T. Jhang.New fast algorithm for optimal design of block digital filters by skew-cyclic convolution[J].IET Signal Processing， 2014，8（6）：633-638.

[2]H.Karner，J.Schneid，and C.W.Ueberhuber.Spectral decomposition of real circulant matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，2003，367：301-311.

[3]D. Z. Lin，“Fibonacci-Lucas quasi-cyclic matrices， FibonacciQuart”[J].2002， 40：280-286.

[4]S.Solak.On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers [J].Appl.Math. Comput， 2005，160：125-132.

[5]Z.L.Jiang，Y.P.Gong，and Y.Gao.“Invertibility and Explicit Inverses of Circulant-Type Matrices with-Fibonacci and -Lucas Numbers”.Abstract and Applied Analysis.Volume 2014（2014），Article ID 238953，9 pages.

[6]H.Karner，J.Schneid，C.W.Ueberhuber.“Spectral decomposition of real circulant matrices”[J].Linear Algebra Appl，2003，367： 301-311.

[7]江兆林，周章鑫.循环矩阵[M].成都：成都科技大学出版社，1999.

[责任编辑：朱丽娜]endprint