高考中的数列求和问题

李向虹

数列求和是高中数学的重要知识点和核心考点，数列求和问题能考查对数列的整体认识，能够体现等价转化这一重要的数学思想，因此数列求和在高考中占有很重要的地位，是每年必考的考点。下面是我总结的数列求和问题的几种常用解法，供参考。

一、方法汇总

1、公式法

（1）等差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：

（3）

2、分组求和法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

3、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式

① ；

② .

4、倒序相加法

把数列分别正着写和倒著写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.

5、错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.

6、并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

例Sn=1002-992+982-972+…+22-12=（100+99）+（98+97）+…+（2+1）=5050.

二、典例剖析

题型一 分组转化法求和

例1.已知数列{an}，an=n，设bn=2an+（-1）nan，求数列{bn}的前2n项和.

解：由an=n，可得bn=2n+（-1）nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，

则T2n=（21+22+…+22n）+（-1+2-3+4-…+2n）. （分组）

记A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，

则

B=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（2n-1）+2n]=n. （分组求和）

故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.

提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.

题型二 错位相减法求和

例2.已知=2n-1，bn=2n-1，设，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：由=2n-1，bn=2n-1，故，于是

（设制错位）

①-②可得：， （错位相减）

故Tn=6-.

注意：（1）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式；

（2）若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

题型三 裂项相消法求和

例3.已知函数f（x）= xa的图象过点（4，2），令=an=

，n∈N*.记数列{}的前n项和为Sn，则S2017=

________.

解析 由f （4）=2，可得4a=2，解得a=，则f （x）=.

（裂项）

（求和）

注意：抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.endprint