函数定义域的类型与求法浅析

2017-10-15 18:46胡效华
神州·上旬刊 2017年9期
关键词:铁盒定义域五年制

胡效华

摘要:本文通过梳理函数的类型及求法,给出五年制数学函数定义域学习过程中学生的难点及易错点,提醒学生在做函数类题目时一定要重视定义域,对学生以后的函数学习乃至微积分课程的学习都有一定的帮助。

关键词:函数定义域

函数定义域是函数三要素之一,对应法则的作用对象,是函数的关键所在。讨论函数的问题时,往往都要从定义域出发,它对于函数的解析式、图象和性质起着制约作用。在五年制学生的数学学习过程中,有必要让学生在入门之初,明确函数定义域的类型和求法,对于今后的初等数学以及微积分的学习起到一定的帮助作用。

函数的定义域是指自变量的取值范围。若不考虑函数的实际意义,而抽象地研究用解析式表达的函数,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的一切实数的全体。

一、一般题型

即给出函数的解析式求定义域,其解法的一般原则是:

(1)解析式为多项式(整式),函数定义域为R;

(2)解析式为分式,函数定义域是使分母不为零的实数的集合;

(3)解析式为偶次根式,函数定义域是使被开方数(式子)大于等于零的实数集合;

(4)解析式是基本初等函数时,函数定义域是使其有意义的实数集合;

(5)解析式如果含有以上几种函数,则应取各部分定义域的交集。

以下给出几个学生不易掌握的例题,以帮助五年制学生加深对函数定义域的理解。

例1 y=x0

分析:因为0的零次方无意义,所以x≠0

解:函数的定义域是

例2

分析:无论x取何值,分母不可能等于0(分母不等于零恒成立),所以

解:函数的定义域是

例3 y=lnx2

分析:根据对数的性质,应满足x2>0,而x2≥0,所以x2≠0即x≠0

解:函数的定义域是

例4

分析:本题涉及对数的性质和分式的意义

解:要使函数有意义,则必须满足

所以函数的定义域是(2,3).

二、实际问题型

在实际问题中,函数的定义域是根据问题的实际意义确定的。

例5 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后将四边折起,就能焊成铁盒,求铁盒的容积。

解:设截去的小正方形边长为x(cm),则铁盒的底边长为(48-2x)cm,

那么铁盒的容積解析式为V=x(48-2x)2(单位m3).

很多学生解题往往到此为止,不再考虑自变量的取值范围。

事实上,这是一个实际问题,自变量x代表边长,所以x>0,同时另一个边长48-2x>0,两个条件同时满足,所以0

综上,铁盒的容积是V=x(48-2x)2(0

在实际问题中,建立数学模型是问题解决的第一步,而在这一步中一定要记住分析自变量的取值范围,否则不利于整个问题的最终解决。

函数定义域的题型除了上面的两种基本题型,还有抽象函数型等等,鉴于五年制学生的特征,在此不再赘述。

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