例析排列组合问题常见策略

陈江

摘要：高中生对于排列组合问题难点在于重复和遗漏，以及不知道怎么入手不能清楚怎么样分类和分步。

关键词：排列；组合；分步；分类

本文就几种常见的排列组合问题进行分析

一、特殊元素或者位置先排列。

例1、（1995年上海高考题改编）为了提要本区县五个学校文化水平进行演讲比赛，其中仁义中学不能排第一也不排最后一个出场，则不同的安排方法有多少种？

分析：本题目中特殊位置为首位、未位，特殊元素为仁义中学。因此就以仁义中学为基础来解答这一道题。

解：第一步：仁义中学先排只能选择第二、三、四节排有A31种，第二步：其科目再排有A44种，共A31 A44种

例2、 为促进本区教育事业的全面发展，加强学校间的合作交流，我校决定安排A、B、C、D、E共5名优秀教师到安富中学、荣昌中学、永荣中学、大成中学4所学校支教，每所学校至少一人，由于安富中学离城比较远，A、B两人不愿意去，则不同安排方案的种数？

分析：本题排序的时候要考虑以下情况A、B两人比较特殊，5人分配4个学校有一个学校就有两人支教，那么哪两人一起支教，而又是哪一个学校时两人支教。因此就以安富中学为基础进行讨论。

解：当安富中学有2人时，首先选择两人到安富中学只能从C、D、E中选择C32，然后其他3个学校再分配剩下三人A33种。共C32 A33=18.

当安富中学有1人时，首先选择一人到安富中学只能从C、D、E中选择C31，然后在分配其他人，此时4人三学校有C43 A33.共C31 C42 A33=108。综上所述共18+108=126种

二、相邻问题捆绑法。

例3、学校组织文艺汇演，现有小品类节目3个，演唱类节目三个，要求三个小品类节目排在一起，不同的排法数？

分析：把小品类三个节目看为一个元素，此时就一共4个元素

解：第一步：把小品类三个节目看为一个元素先对其内部进行排列A33种，第二步：与科目一起排有A44种。共有A33 A44种。

三、不相邻问题插空法：

例4、学校组织文艺汇演，现有小品类节目3个，演唱类节目三个，要求三个小品类节目不能排在一起，不同的排法数？

分析：小品类节目不排在一起就用小品類节目插入演唱类节目空档中

解：第一步：演唱类节目先排A33，第二步：小品类节目再插入演唱类节目之间的空档A43则共A33 A43种

四、阁板法：

例5、将10本资料书分给7个同学，每同学至少1个，那么每人所得书的多少共有多少种？

分析：10个本书之间9个间隔，放入6个隔板就把10个本书成了7份

解：9个空格中放入6隔板C96=84种

五、分组问题：

例6、六个不同的水果，按照下列要求有几种分法？

（1）平均分给A、B、C三人.

分步计数原理：第一步：先选则两本给甲C62，第二步：再选两本给乙C42，第三步：再选两本给丙C22

（2）平均分成三堆.

本小题与上一小题区别在于只分堆不分人。C62 C42 C22÷A33

例7、5个不同的水果分给3个人，要求个人至少1个，有多少种不同的分法？

两种情况：

第一种：1+1+3即一个人3个。另外2个人各1个，C53 A33种

第二种：1+2+2即一个人1个。另外2个人各2个，C52 C32 A33 ÷A22种

以上归纳了几种常见的排列组合问题，排列组合问题最主要的还是把题目情况分析清楚。

参考文献：

[1]张付友，王磊，人教金学典，同步练习册[K]，人民教育出版社，2015.6

[2]曲一线，5年高考三年模拟[K]，首都师范大学出版社，2014.1

[3]崔斌， 例谈排列组合中的分组分配问题[J].甘肃教育， 2007（18）：50-50.endprint