圆锥曲线综合题的“入题、破题、练题”之道——以2017年高考浙江卷21题为例

☉江苏省梅村高级中学 包正峰

圆锥曲线综合题的“入题、破题、练题”之道
——以2017年高考浙江卷21题为例

☉江苏省梅村高级中学 包正峰

圆锥曲线作为高中数学的核心内容，在高考中有着举足轻重的地位，一直是高考的主干题型和必考内容，既有小巧灵活的容易题，也有新颖别致的中等题、压轴题.尤其是圆锥曲线综合题，往往包含比较复杂位置与数量关系，对学生的数学思维、运算能力等均有较高要求.因此，如何采取有效的策略解答圆锥曲线压轴题是我们一线教师不得不思考的问题.下面笔者就结合2017年高考题，谈谈对此的看法.

一、入题之道：执果索因

圆锥曲线综合问题通常遵循以下的解题套路：第一问求圆锥曲线的方程；第二问便是设直线，然后直线与圆锥曲线联立方程，得到它们的特征方程，再通过特征方程写出韦达定理，最后利用韦达定理代换化简.很多老师把上述解题套路当成“万能方法”，并且反复告诫学生，即使题目不会做，把“套路”写一遍也能获得很好的“分数”.当然，我们不能完全否认上述解题套路存在的价值，但如果没有理解题意，盲目套用，反而会弄巧成拙.纵观近几年的高考命题，也呈现出刻意回避上述“套路”的趋势.

图1

例1（2017年浙江卷21题）如图1，已知抛物线x2=y，点A），B），抛物线上的点P（x，y）），过点B作直线AP的垂线，垂直为Q.

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|PA||PQ|的最大值.

分析：此题的第（1）问就有点不按常规“出牌”，不求圆锥曲线的方程而是求直线斜率的范围.此问只需把斜率表示出来即可求得范围，根本没有用到韦达定理.

第（2）问虽然涉及求线段的距离，但实际上根本用不到韦达定理.如果非要用韦达定理表示的话就是“杀鸡用牛刀”，要多走好多弯路.

如果不用韦达定理，那上述问题该如何入手呢？我们不妨采用“执果索因”的策略，即通过结论列出代数式，然后在建立条件与结论的联系的过程中进一步探索解题思路.

对于第（2）问我们可以做如下逆向分析.

第一步，|PA|、|PQ|可以直接利用两点间距离公式表示出来.

第二步，分别求出点P、Q的坐标.

第三步，设直线AP的斜率，联立直线AP与抛物线方程求出P点坐标，联立直线AP与BQ方程求出Q点坐标.

“执果索因”的优点在于能够避开条件中纷繁复杂关系的干扰，从结论入手发现解题目标，结论中需要什么量或者参数，就去想办法满足它，从而避免了解题的盲目性，提高了解题的效率.

二、破题之道：多维转化

圆锥曲线问题的解答过程计算量较大，对运算能力要求较高，寻求简捷、合理的运算途径显得尤为重要.这需要我们寻求圆锥曲线的“破题”之道.常用的破题方法有：设而不求、活用定义、妙用根与系数的关系、统一方程、巧用对称等.但这些方法过于微观，无法从宏观的角度把握解题的脉络.我们知道，解析几何的基本思想就是几何关系代数化，即把题目中的几何条件转化为代数式，而要实现这一转化的往往有多个视角、多个维度可供思考.

以上述问题为例，|PA||PQ|可以直接理解为距离，也可以转化为-，到底朝哪个角度转化解题过程会比较简洁呢？不仅如此，对于|PQ|而言，可以通过求Q点坐标而获得|PQ|的值，也可以避开求Q点坐标，而转化为|PQ|=|AQ|-|PA|，到底哪种方法简单呢？对于-P￣→A·P￣→Q来说，是否也可以避开求Q点坐标？

点评：平面向量是十分活跃的一个“角色”，它融数、形于一体，与圆锥曲线问题自然交汇、亲密接触，无论对试题的表述，还是在揭示曲线的几何性质方面都已显示出它的独特优势.尽管有些题中没有向量，但若引进向量，则能出奇制胜.

多维转化的实质就是拜托圆锥曲线本身的限制，站在其他知识的角度来审视问题，比如，向量视角、三角视角、不等式视角、几何意义视角等，这就需要我们更加关注圆锥曲线与其他知识的交汇.

三、练题之道：类比揭示

面对纷繁复杂的题型、灵活多样的解题策略，教师如何教会学生，让学生掌握这些技巧与方法呢？解题训练肯定必不可少，但如何进行科学有效的训练而不让学生陷入无休无止的“题海”战术，这就是“练题”之道.

纵观历年的高考题，圆锥曲线综合题往往具有“雷同”现象，比如，定点、定值问题是常考常新，常新常考.比如，在今年全国各省的高考题中，定点、定值问题也是考的最多的，如下表.

即使有些问题看似毫不相干，但通过转化也会发现它们实施同一类问题.这就提升教师在教学中要有意识地引导学生关注“形异实同”的问题，将那些相近、相似的问题设计成题组，运用类比思想系统地加以研究，进而揭示其本质，然后“集中火力逐一攻克”.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且O￣→A⊥O￣→B？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由.

（1）求椭圆E的方程；

（1）求椭圆E的方程；

（2）过原点O的两条相互垂直的射线与椭圆E相交于A、B两点，证明：O点到直线AB的距离为定值，并求出定值.

上述三道例题中，例2求线段长度的取值范围，例3求定点，例4求定值，看上去是不同的问题，毫无关联，但如果仔细分析的话，这三道题实际上是同一回事情，它们是椭圆同一性质的不同表述.

下面我们就来证明这个性质.

上述性质还可以推广到双曲线与抛物线.利用性质，上述三道例题迎刃而解.当然，在解题教学中，我们不能够直接把性质抛给学生，让学生套用性质解题，而是先让学生尝试解题，然后通过类比发现性质，最后，再利用性质训练解决其他类似的问题，这样就实现了“解一题，会一法，通一类”的目的.

王国维在《人间词话》中说：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外，解题教学也应如此，入乎其内，能够认识问题更多的细节，对其本质了若指掌；出乎其外，才能看到问题的不同方面，对其产生更为全面的理解，甚至能够另辟蹊径.”这就是圆锥曲线综合题的“入题、破题、练题”之道的真正意义之所在.