一道高考题的解法剖析

☉四川省资中县第二中学 李英刚

一道高考题的解法剖析

☉四川省资中县第二中学 李英刚

2017年高考已经落下帷幕，闲暇之余，做些整理归类之事.在2017年新课标Ⅱ理科数学高考卷上，发现一道求异面直线所成角的题目，有些随想，写下来，与读者共勉.

题目 （2017年新课标Ⅱ卷理10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）.

本题主要考查了直三棱柱的概念、异面直线所成角、余弦定理的应用等主干知识，涉及知识面广，解题方法多元化，全面考查了学生分析问题及解决问题的综合能力，对提高学生的综合发散思维能力及数学素养有很大帮助.

要正确解决本题，学生必须认真读题、审题，了解该题所涉及的知识点，并能够正确回忆出相关概念、公式：

（1）直三棱柱.侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱.学生如若对直三棱柱理解不到位，就不能正确画出本题的具体图形，更无法求出相关线段的长度，那么此题就无法正确解答下去.

（2）异面直线所成角.在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线a和b所成角的大小，与点O的位置无关，且异面直线所成角的取值范围是（0，].

求异面直线所成角的基本思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的两条相交直线，进而利用平面几何知识求解.

（3）余弦定理公式.在立体几何中，计算相关线段长度、三角形的内角大小时，余弦定理是必不可少的重要工具.

学生只有对上述知识点有了清晰的认识与掌握之后，才能进入到后续的解题，当然，解题思路与方法的选择与学生个人对相关知识的掌握和熟练程度有关.下面给出三种思路下的解题策略.

一、平移法

平移法就是通过平移作出这两条异面直线所成角.

简析：如图1，分别取线段BB1的中点D，线段B1C1的中点E，线段AB的中点F，连接DE，DF，EF，这样，利用中位线将异面直线AB1与BC1所成角转化成相交直线DE与DF所成角.易求得，DF=，DE=，EF=，由余弦定理得cos∠EDF=-，所以异面直线与BC所成角的余弦值为，选C.1

图1

点评：平移法的基本方法就是通过平行线将两条异面直线转化成同一平面的两条相交直线，然后在三角形中求角.本题借助了三角形中的中位线来达到平移的效果，涉及了由空间向平面转化的思想.

二、补形法

补形法是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理.

图2

简析：如图2，在直三棱柱ABCA1B1C1上补上一个相同的直三棱柱，使之变成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接DB，DC1，易证得DC1∥AB1，这样，就将异面直线AB1与BC1所成角转化成相交直线BC1与DC1所成角.易求得BD=，BC1=，DC1=，由余弦定理得cos∠BCD=，所以异面直线AB与BC所成角的余111弦值为，选C.

点评：利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一.本题正是通过补形，将直三棱柱补成一个直四棱柱，这样容易将两条异面直线转化到同一平面中.

三、向量法

向量法，即在规则的几何体中，利用空间向量，将两条异面直线所成角的问题转化成直线的方向向量所成角的问题.

图3

点评：准确地建系，写出向量坐标，就成功了一大半，然后利用向量中的夹角公式求夹角，最后注意理清异面直线所成角与向量夹角之间的关系，以及异面直线所成角的范围既可.

异面直线所成角是立体几何中重要的概念之一，也是度量空间两条直线位置关系的重要工具，因此，在高考中备受青睐.但是，学生在学习这部分知识时，由于缺乏良好的空间想象能力和一定的识图、作图能力，常遇到异面直线的概念难以理解、异面直线所成角无法准确判断、角的大小不知如何计算等问题，所以，在平时教学时，要多多强化训练.其中，传统的平移法，通常都需要作辅助线，并且要进行大量的转化，向量法将问题的处理变得轻松起来，降低了思维难度，可以有效提高正确率.