Schwarzschild时空中的几何量子失协

彭小清，吴 韬，b*

（阜阳师范学院 a.物理与电子工程学院；b.量子信息技术研究中心，安徽 阜阳 236037）

Schwarzschild时空中的几何量子失协

彭小清a，吴 韬a，b*

（阜阳师范学院 a.物理与电子工程学院；b.量子信息技术研究中心，安徽 阜阳 236037）

本文研究了在施瓦西黑洞背景下狄拉克粒子的几何量子失协随着霍金效应的变化规律。在霍金温度趋于0时，所获得的几何量子关联与最初态相近。然后随着T的增加，所获得的几何量子关联会单调减小。这是因为霍金效应所产生的场热的作用，而且还发现当r偏大时，因为泡利不相容原理和费米-狄拉克统计规律共同作用使得狄拉克系统不能被完全激发，T即使趋向于无穷大，物理上可获得的几何量子关联无法完全消失，这个现象与在标量场中是完全不同的。此外，我们对所有的两体几何量子关联进行了研究。结果表明，当霍金温度趋向于0时，粒子A的B1几何量子关联最大，粒子BⅠ和BⅡ粒子之间的几何量子关联几乎一样，且都随着霍金温度的增大而单调增大。

Schwarzschild黑洞；量子关联；量子失协；量子纠缠

在量子通信和量子计算[1,2]中量子关联被认为是一种十分重要的资源。2001年Ollivier和Zurek[3]首先提出了用量子失协度量量子关联。此后，量子关联吸引了越来越多的关注[4-10]，许多学者从不同的视角相继提出了多种不同的方式度量量子关联。例如，几何量子失协(Geometric quantum discord，GQD)[6,7]、改进的 MID（AMID）[8,9]、负熵和测量引起的干扰（Measurement-induced dis-turbance,MID）[10]等等。

另一方面，近几年来，Schwarzschild黑洞背景下的霍金效应作为一种时空中的量子热效应也引起了大量的关注[11-16]。文献[11]在施瓦西黑洞背景下研究了狄拉克粒子系统的基于最小条件熵的量子关联演化规律。在此文献的启发下，本文研究了施瓦西黑洞背景下霍金效应影响的狄拉克粒子系统的几何量子失协动力学。结果表明，当霍金温度趋于0时，系统所获得的几何量子关联与最初态接近，然后随着霍金温度T的增加，所获得的几何量子关联会单调减小。这是因为霍金效应所产生的热场的作用，而且还发现当r偏大时，因为泡利不相容原理和费米-狄拉克统计规律共同作用，狄拉克系统并不能被完全激发[11]，T即使趋于无穷大，物理上可获得的几何量子关联也无法完全消失，这个现象与在标量场中是完全不同的。此外，随着霍金效应的增大，可获得的两体几何量子关联迅速减小而不可获得的两体量子关联却逐渐增大，而可以获得的几何量子关联之所以减小并不是因为受到黑洞的破坏，而是由于分配的区域发生了重置而造成的。

1 几何量子关联的数学度量

本文采用几何量子失协作为量子关联的度量方式，对一个两比特X态的几何失协一般解析表达式为[6]

对一般的两比特X态，其密度矩阵可以表示为：

该矩阵有七个实参数，由于局域操作等价性，设ρ14和ρ23也是实数，所以此矩阵实际上有五个独立的参数，如果选择在Bloch分解下表示该X态，则这五个特征参数可分别表示为[17]：

当量子态ρ处于式（2）所示的X态时，它的特征参数由式（3a～3e）表示。因此，有=(0,0,x)t和T=diag{t1,t2,t3}，X态的几何失协表示如下：

2 Schwarzschild时空中狄拉克的量子化

1916年，施瓦西提出了一种称为施瓦西黑洞的物理模型，它设定的不带电荷而且没有自旋，并且黑洞的中心是奇点。本文中出现的常数诸如引力常数G、光速c、约化普朗克常量以及波尔兹曼常数都规定为一个单位，则其度规可以写成：

其中M为黑洞质量。将该度规带入狄拉克方程[18]

分别对应的是视界内外临近的一组正频费米波模[19]。其中ℜ表示施瓦西黑洞所对应的四分量旋[20]，ω表 示 狄 拉 克 频 率 ，μ=t-r*和r*=r+2Mln[r-2M]/2M表示乌龟迟缓坐标。波模ψk(r＜r+)和ψk(r＞r+)构成一组完备的正交基，之后对狄拉克场进行相应的量子化。

另外，引入类光 Kruskal坐标，用Damour-Ruffini方案[21]对式（7）进行解析拓展，得到 Kruskal波模。而对于Dirac场，可以采取同样的方法将其量子化，获得的就是Dirac场对Kruskal波模的展开。找到适当的内积，就可以得到施瓦西时空和Kruskal时空中产生算符和湮灭算符之间Bogoliubov变换[22]关系，因此,模K的 Kruskal真空态表示为：

T=1/8πM是此黑洞的霍金温度[19]，分别代表的是视界线内外的标准的正交基，上标{+,-}则分别代表着正粒子真空和反粒子真空，同理，Kruskal唯一激发态表示为：

3 SCHWARZSCHILD黑洞背景下的几何量子失协变化规律

考虑Alice和Bob最初共享如下形式的Werner态[23]：

Ailce用Minkowski模表示，Bob用黑洞模表示。由于黑洞视界的内外部是没有因果关联的，因此,对视界内的粒子Trace就行了(此处为BII粒子），根据式（8）和(9)可得到：

式中α=(e-ωk/T+1)-1/2,β=(eωk/T+1)-1/2，其矩阵形式：

由式（3a-3e）可得在Bloch分解下的五个特征参数为：

图1 在频率一定情况下GQD随T的变化曲线

图1给出了在频率ω一定的情况下，几何量子关联（GQD）随着霍金温度（T）的变化曲线。从图中可以发现：当T趋向于0时，可以想象此时的黑洞正在走向极端，而这个时候能够探测到的量子失协，与刚开始的Werner态相比较，能够发现它们的大小几乎是相等的，并没有十分明显的差别。然后，随着T的增大，因为霍金效应所产生的热场的作用，所获得的量子关联会单调递减。

此外，从图中还可发现：当r偏大时，T即使趋向于无穷大，在物理上可获得的几何量子关联也没有办法完全消失，此现象与在标量场中是完全不同的。这是由于泡利不相容原理和费米-狄拉克统计规律共同作用，狄拉克系统并不能被完全激发[11]。

为了进一步理解几何量子关联消失的原因，假设B的波模由于受到霍金效应的影响，分生了分离，分离成了BI和BII，这种变化导致了量子关联的重新分配。所以，分别对视界外部区域的波模BI和粒子A求迹，就可以获得ABII和BIBII的密度矩阵。

ABII的密度矩阵为：

亦即

因此，由式（3a-3e）可得在Bloch分解下的五个特征参数为：

BIBII的密度矩阵为：

亦即

因此，由式（3a-3e）可得在Bloch分解下的五个特征参数为：

由式（17）可以观察到：在两个子系统之间，量子属性与参数r是没有关系的，因为在一开始的推导过程中，我们就已经把这种影响消除了，所以在此处不再予以考虑。在图2中绘画出了在r=0.9时，所有两体几何量子关联随着T升高的变化图像。在图中可以看出，当霍金温度趋向于0时，粒子A和B1的几何量子关联最大，而粒子B和BII，粒子A和BII之间的几何量子关联几乎为零，且都随着T的升高而单调增大。当霍金效应增强时，从图2中可以非常清晰地看到，能够获得的量子关联以一个很快的速度减小，与此同时两个不可获得的两体关联却渐渐增大。能够获得的量子关联之所以减小，并不是由于它受到了黑洞的影响，而是被重新分配到了其他的区域，而在这些区域中造成了其几何量子关联的无法获得。

图2 r=0.9时两体几何量子关联随T的变化曲线

4 小结

在施瓦西黑洞背景下，讨论了霍金辐射对狄拉克粒子几何量子失协的影响。结果表明，当霍金温度趋于0时，系统所获得的几何量子关联与最初态接近，然后随着T的增加，所获得的几何量子关联会单调减小。这是因为霍金效应所产生的热场的作用，而且还发现当r偏大时，因为泡利不相容原理和费米-狄拉克统计规律共同作用，狄拉克系统并不能被完全激发[11]，T即使趋于无穷大，物理上可获得的几何量子关联也无法完全消失，这个现象与在标量场中是完全不同的。此外，随着霍金效应的增大，可获得的两体几何量子关联迅速减小而不可获得的两体量子关联却逐渐增大，而可以获得的几何量子关联之所以减小并不是因为受到黑洞的破坏，而是由于分配的区域发生了重置而造成的。

[1]Nielsen M A,Chuang I L.Quantum computation and quantum information[M].Cambridge：cambridge university press,2000.

[2]Bennett C H,DiVincenzo D P.Quantum information and computation[J].Nature,2000,404：247-255.

[3]Ollivier H,Zurek W H.Quantum discord：a measure of the quantumness of correlations[J].Physical Review Letters,2002,88(1)：017901.

[4]Celeri L C,Maziero J,Serra R M.Theoretical and experimental aspects of quantum discord and related measures[J].International Journal of Quantum Information,2011,9(7/8)：1837-1873.

[5]Modi K,Brodutch A,Cable H,et al.The classicalquantum boundary for correlations：Discord and related measures[J].Reviews of Modern Physics,2012,84(4)：1655-1707.

[6]Daki B,Vedral V,Brukner C.Necessary and sufficient condition for nonzero quantum discord[J].Physical Review Letters,2010,105(19)：190502.

[7]Luo S,Fu S.Geometric measure of quantum discord[J].Physical ReviewA,2010,82：034302.

[8]Wu S J,Poulsen U V,Molmer K.Correlations in local measurements on a quantum state,and complementarity as an explanation of nonclassicality[J].Physical ReviewA,2009,80(3)：032319.

[9]Girolami D,Paternostro M,Adesso G.Faithful nonclassicality indicators and extremal quantum correlations in two-qubit states[J].Journal of Physics AMathematical and Theoretical,2011,44(35)：352002.

[10]Luo S.Using measurement-induced disturbance to characterize correlations as classical or quantum[J].Physical ReviewA,2008,77：022301.

[11]Xu S,Song X K,Shi J D,et al.Probing the quantum correlation and Bell non-locality for Dirac particles with Hawking effect in the background of Schwarzschild black hole[J].Physics Letters B,2014,733(6)：1-5.

[12]Bak D.Entropy of universe as entanglement entropy[J].Physics Letters B,2013,721(4/5)：323-328.

[13]Eune M,Kim W.Entropy and temperatures of Nariai black hole[J].Physics Letters B,2013,723(1/3)：177-181.

[14]Flassig D,Pritzel A,Wintergerst N.Black holes and quantumness on macroscopic scales[J].Physical Review D,2013,87：084007.

[15]Bodendorfer N.Black hole entropy from loop quantum gravity in higher dimensions[J].Physics Letters B,2013,726(4/5)：887-891.

[16]Zhang B C,Cai Q Y,Zhan M S,et al.Towards experimentally testing the paradox of black hole information loss[J].Physical Review D,2013,87(4)：044006.

[17]Chen Q,Zhang C J,Yu S X,et al.Quantum discord of two-qubit X states[J].Physical Review A,2011,84(4)：042313.

[18]Brill D R,Wheeler J A.Interaction of neutrinos and gravitational fields[J].Reviews of modern physics,1957,29：465.

[19]Jing J L.Late-time behavior of massive Dirac fields in a Schwarzschild background[J].Physical Review D,2004,70(6)：065004.

[20]Wang J,Pang Q,Jing J.Projective measurements and generation of entangled Dirac particles in Schwarzschild spacetime[J].Annals of Physics,2010,325：1190.

[21]Damour T,Ruffini R.Black-hole evaporation in the Klein-Sauter-Heisenberg-Euler formalism[J].Physical Review D,1976,14(2)：332-334.

[22]Barnett S M,Radmore P M.Methods in theoretical quantum optics[M].New York：Oxford University Press,1997：67-80.

[23]Bellomo B,Lo Franco R,Compagno G.Entanglement dynamics of two Independent qubits in environments with and without memory[J].Physical Review A,2008,77(3)：032342.

Geometric quantum discord in Schwarzschild spacetime

PENG Xiao-qinga,WU Taoa,b*
(a.School of Physics and Electronics Engineering;b.Research Center of Quantum Information Technology,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China)

In this paper,we mainly studies the effect of the Hawking radiation on the geometric quantum discord(GQD)for Dirac particles in the background of Schwarzschild black hole.It is shown that when the Hawking temperatureT→0 the quantum properties of physically accessible state are same for the initial situation.For finite Hawking temperatureT,the accessible GQD monotonously decreases along with increasingTowing to the thermal fields generated by the Hawking effect,and the accessible GQD will be disappeared when the Hawking temperature is more than a fixed value which increases with the parameterrof Werner state growing.Then we analyzed where the lost physically accessible GQD go,and found that they are redistributed to all the bipartite states.Moreover,it is found that when the Hawking temperature is infinite,corresponding to the case of the black hole evaporating completely,the GQD ofρAB1andρABⅡare identical.The inaccessible correlation between modes BⅠand BⅡ,between modesAand BⅡmonotonously increase with increasingT.

Schwarzschild black hole;quantum correlation;geometric quantum discord;quantum entanglement

O431.2

A

1004-4329（2017）03-035-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-035-05

2017-05-05

安徽省高校优秀青年人才支持计划重点项目（gxy1ZD2016190）；阜阳师范学院教研项目（2016JXTD03，2015JYXM34）；阜阳师范学院科研创新团队（kytd201706）资助。

吴 韬（1975- ），男，博士，教授，研究方向：量子信息。Email：wutaofuyang@126.com。