势能的正负取值及零势能面选择问题初探

王汇隆

1弹性势能取值和零势能面的判定

首先对弹性势能的表达式进行推导，假设存在一个弹簧，k为其劲度系数，构成如图1所示的弹簧振子。以ax为轴，原点a在ax轴上任取位置，当弹簧处于自然状态时，振子的坐标为x1，当弹簧发生某一形变后，振子的坐标设为x，根据弹性势能的计算公式，可以得到振子位于x时弹簧的弹性势能Epx与振子位于原点a时弹簧的弹性势能Epa之差ΔEp，如式（1）所示：

[ΔEp=Epx-Epa=12k（x-x1）2-12kx21=12kx2-kxx1] （1）

以往我们往往将零势能面选择在弹簧处于自然状态时的位置，这是一种特殊情况，不具有代表性，本文讨论零势能面为过坐标原点a的面时弹性势能的取值，此时Epa=0，那么式（1）可以变形为式（2）：

[Epx=12kx2-kxx1] （2）

Epx就是振子处于坐标为x时弹簧具有的弹性势能，弹簧处于自然状态时其坐标为x1，那么式（2）可以看作弹性势能的通用表达式。当x1=0时，式（2）中Epx等于kx2/2，此时即为上述的特殊情况。

当x1大于0时，x的取值变化会使其对应的弹性势能发生改变，首先对这种情况下的零势能面进行分析，从图2中可以明显看出在x1>0的条件下，会存在两个零势能面，一个为原点a处，另外一个为x=2x1处；之后对弹性势能的变化情况进行讨论，当02x1时，弹性势能均为正值。

当x1小于0时，如图3所示，零势能面的情况与x1大于0时相似，为0和2x1两处；弹性势能为正时x的取值范围为小于2x1或大于0，弹性势能取负值时x的范围为2x1

2重力势能取值和零势能面的判定

与弹性势能相比较，重力势能相对简单一些，但重力势能的取值更加依赖于零势能面的选择。重力势能的计算公式如式（3）所示：

[Ep=GH] （3）

式（3）中G为物体的重力，H为物体距离零势能面的高度，可以看出零势能面的选择直接影响重力势能的取值。如图4所示，一个质量为M的小球位于距离地面A高度为h1的桌面B处，在桌面B上方存在一个高度为h2的平面C，分别取地面A、桌面B、平面C为零势能面，小球的重力势能取值不同，结果见表1：

表1 零势能面不同时物体重力势能的取值

[零势能面 重力势能Ep 地面A Mgh1 桌面B 0 平面C -Mgh2 ]

從表1可以看出零势能面选择不同，重力势能的正负取值也各不相同，当取地面A为零势能面时，重力势能取正值，当取桌面B为零势能面时，重力势能为0，当取平面C为零势能面时，重力势能取负值。

3结论

综上所述，势能的一大特点就是具有相对性，势能取值的正负与零势能面的选择息息相关，在解题过程中根据具体情况选择合适的零势能面作为参考，能够使解题的速度和正确率得到大幅度的提高。