含有周期分布转动振子的声子晶体梁的弯曲振动带隙研究

朱学治， 陈照波， 焦映厚， 杨 凯

(1.哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150001； 2. 陆军航空兵学院，北京 101123)

含有周期分布转动振子的声子晶体梁的弯曲振动带隙研究

朱学治1， 陈照波1， 焦映厚1， 杨 凯2

(1.哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150001； 2. 陆军航空兵学院，北京 101123)

将转动振子周期布置于基体梁上形成声子晶体梁，受到外激励时，转动振子对基体梁产生动态反力矩作用。基于欧拉梁理论，采用传递矩阵法计算得到含转动振子的声子晶体梁的复能带结构。计算结果表明，转动振子可以使得声子晶体梁产生窄频带局域共振带隙和宽频带Bragg带隙。分析转动振子的转动惯量和转动刚度对带隙的调控作用，得到带隙变化的一般规律。转动刚度恒定时，减小转动惯量会拓宽局域共振带隙。转动振子频率恒定时，过大或过小的转动刚度会减小局域共振带隙带宽。同时提高转动惯量和转动刚度可以有效拓宽Bragg带隙。针对有限长的含转动振子的声子晶体梁，用谱单元法计算振动传递率，验证了含转动振子的声子晶体梁的带隙特性。该研究为声子晶体的带隙设计提供了理论依据。

转动振子；声子晶体梁；弯曲振动带隙；传递矩阵法

结构振动本质上是弹性波在结构中的传播，对结构中的弹性波的传输行为进行人为的调控是减振降噪的有效思路和方法[1]。近些年来，在物理领域提出来的声子晶体的概念，为实现弹性波传输的调控提供了有效的手段。

声子晶体具有弹性波带隙特性，声子晶体的带隙共分为两种，一种是Bragg散射型带隙，一种是局域共振型带隙[2]。弹性波在声子晶体结构中传播时，落在带隙频率范围内的波将无法传递[3-4]。因此，声子晶体拥有巨大的减振应用潜在价值。黄丽娟等[5]将局域共振声子晶体结构与蜂窝板结合，设计了周期附加振子的蜂窝板，利用带隙特性实现了对蜂窝板弯曲振动的有效抑制。左曙光等[6-8]探讨了声子晶体结构的带隙特性应用于汽车车身减振的技术形式。曾广武等[9]研究了多组声子晶体复合结构的隔声性能。

在带隙特性的研究中，声子晶体的实际结构形式主要有：两种或多种组元材料周期排列形成无限周期结构[10]；具有特定形状的散射体周期布置在基体介质中形成的周期结构[11-12]；被弹性层包覆的重质量振子周期的嵌入基体材料中[13-14]；具有振子特性的特殊结构进行周期堆栈[15]。在声子晶体带隙特性的理论分析中，具有不同形式的振子一般采用具有集中参数的弹簧-质量振子模型来进行等效[16-18]，Hirsekorn[19]采用弹簧-质量振子模型分析得到了带隙边界频率的一般表达式。肖勇[20]在其博士学位论文中对含有弹簧-质量振子模型的局域共振型声子晶体结构的带隙特性进行了系统深入的研究。

目前，各种实际振子模型的等效弹簧-质量振子模型均为具有直线位移特性的振子。以声子晶体梁、板结构为例，在其横向振动带隙特性研究中，附加在基体上的弹簧-质量振子与基体之间产生动态反力作用。这种线位移振子并不能作为具有实际形式振子的完全等效模型，因为声子晶体结构中实际的振子并不仅仅产生线位移形式的局域共振模式，还产生转动形式的局域共振模式。本文中将弹簧-质量振子模型扩展为具有角位移特性的振子模型，即转动振子。将转动振子周期布置在基体梁上形成声子晶体梁，转动振子对基体梁产生动态反力矩作用，分析转动振子的转动惯量和转动刚度对带隙的影响，得到带隙变化的基本规律，为声子晶体带隙的设计提供指导依据。

1 理 论

具有周期分布转动振子的局域共振欧拉梁如图1所示。晶格常数为a，每个转动振子由转动刚度Kr，和转动惯量Ir组成。

图1 含转动振子声子晶体梁

欧拉梁的自由弯曲振动微分方程可以写为

(1)

式中：E，ρ分别为欧拉梁的杨氏模量和密度；A，I分别为横截面面积和关于梁轴线的截面惯性矩。y(x,t)为梁的横向位移。如图1中所示，设梁截面的宽和高分别为b，h。

对第N段梁，式(1)的解可以写成

(2)

令

(3)

为梁的振幅。

对第N+1段梁，式(1)的解可以写成

(4)

对于第n个转动振子，考虑到xn处梁上所有力矩的等效边界条件，包括梁的初始力矩，可以得到

(5)

式中：Mn(t)为在连接点xn处转动振子与主梁之间的相互作用力矩；θn(t)=Θneiωt为转动振子的转动角位移；Θn为第n个转动振子的振动幅值。力矩Mn(t)的表达式为

(6)

把式(6)代入式(5)得到

(7)

应用以上各式来推导局域共振欧拉梁的能带关系。在转动振子连接点xn处(也就是x=Na处)，根据梁横向位移，倾角，弯矩，剪力的连续性有

Xn(a)=Xn+1(0)

(8a)

(8b)

(8c)

EIX‴n(a)=EIX‴n+1(0)

(8d)

把式(3)，式(6)代入式(8)得到

KΦn+1=HΦn

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

(13)

在y方向上，具有无限周期特性的局域共振欧拉梁满足Bloch周期定理

Φn+1=eiqaΦn

(14)

式中，q是沿着y方向的Bloch波波数。

将式(14)代入式(9)中得到特征值问题

T-eiqaI=0

(15)

式中：T=K-1H，求解特征值问题就可以得到波数q与频率ω的关系，也就是能带结构。

2 数值计算与讨论

2.1能带关系计算

在计算周期分布转动振子的欧拉梁的能带关系时，设定基体梁的材料为有机玻璃，材料参数设置为：密度ρ=1 062 kg/m3,杨氏模量E=3.228E+009；几何参数设置为：截面宽b=0.01 m，高h=0.005 m。转动振子的参数为：转动惯量Ir0=4E-005 kg·m2,转动刚度Kr0=22 620 N·m/rad。转动振子的共振频率为500 Hz。晶格常数a为80 mm，由式(15)计算得到简明复能带关系如图2所示。

图2 声子晶体梁的复能带结构

2.2振子参数对带隙的调控

为了进一步揭示含周期分布转动振子的声子晶体梁形成的带隙的特性，研究转动振子的转动惯量Ir，转动刚度Kr对局域共振带隙和布拉格带隙的调控作用。

为了使参数影响的探讨结果更加具有普适的意义，文中采用无量纲化的参数进行分析讨论。

定义转动振子的无量纲质量

(16)

式中，ρAa3/12为单个晶格单元绕着过振子连接点处的y轴的转动惯量。其物理意义为转动振子的转动惯量与单个晶格单元转动惯量的比值。

定义转动振子的无量纲刚度为

(17)

其物理意义为转动振子的转动刚度与单个晶格单元弯曲刚度EI/a3的比值。

(1)转动惯量对带隙的调控作用

设定转动振子的刚度为参考无量纲刚度κ0，令转动振子的转动惯量在参考无量纲质量的1 000倍到1/1 000倍范围内取值，保证转动振子的转动惯量相对于主梁取得极小值和极大值范围之间的值。转动振子的转动惯量对带隙的调控规律如图3所示。

图3(a)描述了转动振子的转动惯量对局域共振带隙的调控作用，横坐标表示振子无量纲质量的取值，每个无量纲质量取值对应的带隙的起始频率、截止频率以及带宽分别用斜线条柱、白色条柱和灰色的条柱表示。由图易知，随着振子的转动惯量值减小，而振子的转动刚度保持不变时，振子的固有频率随着转动惯量的减小而提升，局域共振带隙的位置频率相应提高，转动振子引起的局域共振带隙位置频率接近振子固有频率。但是，与线位移振子明显不同地，随着无量纲质量的减小，带隙的宽度呈现出递增的趋势。在无量纲质量γ较大，γ=10γ0，γ=100γ0时，产生的局域共振带隙带宽只有5 Hz、19 Hz。

图3(b)描述了转动振子的转动惯量对一阶Bragg带隙的调控作用,当振子转动惯量大于半个晶格单元的转动惯量时，带隙起始频率严格等于一阶Bragg频率为618 Hz，Bragg带隙的带宽只取决于Bragg带隙的截止频率(图中虚线所示)。振子的转动惯量较大时，Bragg带隙的截止频率在稳定在738 Hz附近。当振子的转动惯量取值与单个晶格单元的转动惯量相当时(图中所示γ=10γ0到γ=γ0的范围)，Bragg带隙截止频率取得最大值，带宽最大。由此可知在带隙设计中为了获得更宽的Bragg带隙时，应该设置转动振子的转动惯量至少为半个晶格单元的转动惯量，从而具有更高的截止频率。当振子转动惯量较小时，带隙截止频率严格等于一阶Bragg频率，此时带宽取决于起始频率。振子的转动惯量很小时，Bragg带隙起始频率趋近于一阶Bragg频率，带宽显著减小。由图易知，振子的转动惯量较小时，Bragg带隙的带宽较小。

(a)

(b)

(2)转动刚度对带隙的调控作用

设定转动振子的转动惯量为参考无量纲质量γ，令转动振子的转动刚度在参考无量纲刚度的1 000倍到1/1 000倍范围内取值，保证转动振子的转动刚度相对于主梁取得极小值和极大值范围之间的值。转动振子的转动刚度Kr对带隙的调控规律如图4所示。图4的格式设置与图3相同。

图4(a)描述了转动振子的转动刚度对局域共振带隙的调控作用。与转动惯量特性类似地，随着转动刚度的增加，振子的固有频率提升使得局域共振带隙的位置相应提高。转动刚度在较小值和较大值时，都会削弱局域共振带隙。当转动刚度很小时，振子与主梁的耦合特性被极度削弱，其极限情况就是振子与主梁的近似脱离状态，局域共振带隙将不明显。当转动刚度很大时，振子的状态近似于质量点固连到主梁上，弱化了局域共振特性。转动振子的转动刚度存在一个适中的值，能够使局域共振带隙相对比较明显。

(a)

(b)

图4(b)描述了转动振子的转动刚度对Bragg带隙的调控作用。转动刚度较小(小于参考转动刚度)时，图中所示实线代表的Bragg带隙的起始频率严格等于一阶Bragg频率为618 Hz，Bragg带隙的位置只与主梁的参数和周期特性相关。Bragg带隙的带宽只取决于Bragg带隙的截止频率(图中虚线所示)。转动振子的转动刚度很小时，振子与主梁接近于脱离状态，Bragg散射能力被削弱，图中表现为带隙截止频率趋近于起始频率，带隙带宽明显减小。当转动振子的转动刚度增加时，Bragg带隙的截止频率随之提升，无量纲刚度达到参考值，截止频率取得最大值，带宽最大。转动刚度继续增加时，一阶Bragg频率变为Bragg带隙的截止频率，Bragg带隙的带宽只取决于起始频率，起始频率在460 Hz左右。

(3)振子频率固定时转动惯量对带隙的调控作用

单一调谐振子的转动惯量或转动刚度都会引起固有频率的明显变化，此时带隙的位置会有较大的变化。而在实际的工程问题中，我们期望用于减振的带隙具有特定频率范围。这时，往往通过协同调谐振子的“质量”和“刚度”来保证振子的固有频率取得定值，以期获得相对稳定频率范围的带隙。

设定转动振子的固有频率为500 Hz，转动振子的转动惯量和转动刚度同增同减，考察转动惯量对带隙的调谐作用，如图5所示。

(a)

(b)

图5(a)描述了转动振子的转动惯量对局域共振带隙的调控作用。图中清晰显示了转动振子引起的局域共振带隙频率位置与振子固有频率发生偏离的现象，而线位移振子引起的局域共振带隙频率位置适中在振子的固有频率附近。只有当转动惯量很小时，局域共振带隙位置才会接近振子的固有频率，但需注意，此时的带隙带宽十分有限。当转动惯量增加时，局域共振带隙的频率位置与振子的固有频率偏离越多，转动惯量每增加10倍，局域共振带隙频率位置则向低频移动100 Hz。值得注意的是，振子的转动惯量与单个晶格单元的转动惯量相当时，局域共振带隙带宽才会较大，这是因为转动惯量很大或很小时，对应的转动刚度也取得很大的值或很小的值，两种取值状态下，均会削弱振子与主梁的相互作用，使得局域共振带隙带宽变小。

图5(b)描述了转动振子的转动惯量对Bragg带隙的调控作用。图中所示实线代表的Bragg带隙的起始频率始终严格等于一阶Bragg频率，而图3(b)、图4(b)中显示，转动惯量和转动刚度的变化均会导致一阶Bragg频率在起始频率和截止频率间的转换。这是因为当确定振子的固有频率始终为500 Hz，转动惯量和转动刚度同时增减变化。在增减变化中，转动惯量减小时，转动刚度减小到更小，转动惯量相对而言始终为较大量，此时，Bragg带隙的起始频率始终严格等于一阶Bragg频率。Bragg带隙的带宽只取决于Bragg带隙的截止频率(图中虚线所示)。当转动惯量取值很大时，截止频率趋近于1 400 Hz，带宽最大；当转动惯量取值很小时，截止频率趋近于一阶Bragg频率618 Hz，带宽最小。这是因为转动惯量很大时，转动刚度值也很大，转动振子近似于固连到主梁上的较大集中质量，Bragg散射能力强，引起较宽带隙；转动惯量很小时，转动刚度也很小，转动振子接近脱离于主梁，Bragg散射能力弱，引起较窄带隙。

3 含有转动振子的声子晶体梁的振动传递特性 用谱单元法计算声子晶体梁的振动传递特性。

如图6所示,n-1个转动振子附加在有限长基体梁上，将基体梁分为n段，设定每一段为一个谱单元，谱单元编号为(1,2,3,…,j,…,n),节点编号为1,2,3,…,i,…,n,n+1。

图6 振动传递特性求解设置

谱单元(j)的动刚度矩阵为[20]

(18)

其中各个子阵为[20]

(19)

(20)

(21)

其中

β=[-cos(kbaj)sinh(kbaj)+

sinh(kbaj)cosh(kbaj)](kbaj)/Δ

γ=[-cos(kbaj)+cosh(kbaj)](kbaj)2/Δ

Δ=1-cos(kbaj)cosh(kbaj)

(22)

每个转动振子的附加动刚度为

(23)

转动振子对基体梁的反力矩作用体现在谱单元的动刚度矩阵中时需要将转动振子的附加动刚度写成矩阵形式

(24)

将各个谱单元的动刚度矩阵和振子的动刚度矩阵进行组装得到整个声子晶体梁的动刚度矩阵为

(25)

整个声子晶体梁的动力学方程可以写成

Dbeanu=f

(26)

其中广义坐标

(27)

外激励

(28)

表示在声子晶体梁的最左端施加横向力载荷。

根据式(26)计算振动响应，声子晶体梁的材料和截面尺寸参数设置以及转动振子的参数与上面2.1节中带隙计算中的设置相同，不再赘述。设定有限长声子晶体梁包含10个单元，即n=10。在声子晶体梁的一端沿着横向方向施加0～1 500 Hz的简谐激励，分别在两端拾取位移振动响应A1(ω)，A2(ω)，计算振动传递率

(29)

振动传递特性曲线如图7所示。在1 500 Hz内，声子晶体梁中的转动振子引起了2条振动传递带隙，带隙范围用灰色柱表征。振动传递特性曲线上第一条带隙范围为182～293 Hz，带隙内有很强的振动衰减能力，为局域共振带隙。第二条带隙范围为610～1 156 Hz，带隙的起始频率对应无限长声子晶体梁的一阶Bragg频率，带隙位置受到声子晶体梁周期特性调控，带隙属于Bragg带隙。与图2中的无限长声子晶体梁的能带结构对比得知，图7中的振动传递带隙与无限长声子晶体梁的弹性波带隙有精准的对应关系。以上两条振动传递带隙能够验证转动振子引起声子晶体梁中的弹性波传播带隙特性。

图7 有限长声子晶体梁振动传递特性

4 结 论

本文将转动振子周期布置在梁上构成声子晶体梁，研究了声子晶体结构中振子对基体结构产生动态反力矩的情况下的带隙特性。采用传递矩阵法计算得到了含转动振子声子晶体梁的复能带结构，分析了转动振子的参数，即转动惯量和转动刚度对带隙的调控作用，分析结果表明：

(1)转动振子能够引起声子晶体梁产生局域共振型和Bragg型两种带隙。局域共振带隙的频率位置与振子的固有频率一致，转动振子的转动惯量是调控局域共振带隙带宽的主要参数，转动惯量的增加会导致局域共振带隙带宽的减小，这与含有弹簧-质量振子的声子晶体梁的规律明显不同。过大或过小的转动刚度都会削弱转动振子与主梁的耦合作用，使得局域共振带隙带宽减小。需要指出的是，中低频范围内，转动振子引起的局域共振带隙带宽是非常有限的。

(2)相比于局域共振带隙，Bragg带隙有较大的带宽。含有弹簧-质量振子的声子晶体梁的Bragg频率是Bragg带隙的截止频率，明显不同地，本文中的含转动振子声子晶体梁中，转动惯量是较大量时，Bragg带隙的起始频率是一阶Bragg频率，Bragg带隙的带宽主要取决于Bragg带隙的截止频率；转动刚度是较大量时，Bragg带隙的截止频率是一阶Bragg频率，Bragg带隙的带宽主要取决于Bragg带隙的起始频率。转动振子的转动刚度和转动惯量对振子的波反射能力影响比较大，同时增加转动刚度和转动惯量能够有效的拓宽Bragg带隙。

(3)用谱单元法计算有限长的含转动振子的声子晶体梁的振动传递率，计算结果显示声子晶体梁具有较小带宽的局域共振带隙和较大带宽的Bragg带隙，验证了声子晶体梁的带隙特性。

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Flexuralvibrationbandgapsinaphononiccrystalbeamcontainingrotationalresonators

ZHUXuezhi1,CHENZhaobo1,JIAOYinghou1,YANGKai2

(1. School of Mechatronics Engineering Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China； 2. Army Aviation Institute, Beijing 101123, China)

Rotational resonators were attached to a host beam to form a phononic crystal beam. The complex band structure of the phononic beam containing rotational resonators was derived by using the transfer matrix method based on Euler-Bernoulli beam theory. The results show that narrow band locally resonant band gaps and wide band Bragg band gaps can be achieved by attaching rotational resonators. The effects of rotational resonator parameters, such as the rotational stiffness and moment of inertia on the band gaps were analyzed, and the general rule for the change of the band gaps was obtained. The locally resonant band gap could be broadened by minimizing the moment of inertia when the rotational stiffness remains constant. An excessively large or small rotational stiffness could minimize the locally resonant band gap while Bragg band gaps could be broadened effectively by increasing the rotational stiffness and moment of inertia simultaneously. Finally, the band gaps properties of the phononic crystal beam were verified though the transverse vibration transmission calculation using the Spectrum Element Method.

rotational resonator; phononic crystal beam; flexural vibration band gap; transfer matrix method

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.014

国家自然科学基金(11372083)

2016-04-29 修改稿收到日期：2016-06-21

朱学治 男，博士，1988年生

陈照波 男，博士，教授，1967年生。E-mail:chenzb@hit.edu.cn