剪切变形与转动惯量对层合金属厚壁短管振动模态的影响

郭建英， 白艳艳

(1. 太原理工大学 矿业工程学院，太原 030024； 2. 太原理工大学 机械工程学院，太原 030024)

剪切变形与转动惯量对层合金属厚壁短管振动模态的影响

郭建英1， 白艳艳2

(1. 太原理工大学 矿业工程学院，太原 030024； 2. 太原理工大学 机械工程学院，太原 030024)

对层合金属厚壁短管进行振动分析必须考虑非匀质、剪切变形和转动惯量效应。基于Timoshenko理论，推导了两端简支、两端固支、两端自由和悬臂四种边界条件下，层合金属厚壁短管弯曲振动的频率函数与模态振型函数的表达式。采用计算机代数系统MAPLE对四种边界条件下铜钢层合厚壁短管的固有频率进行求解，并绘制振型曲线。采用锤击实验法并结合有限元模态分析法，测得了铜钢层合厚壁短管在两端自由条件下弯曲振动的固有频率。理论解与实测值相比的最大误差为-4.56%，理论解与有限元解相比的最大误差为-0.76%。求解了剪切变形与转动惯量对铜钢层合厚壁短管固有频率的影响系数，并分析了该频率影响系数与管子的振型曲线随边界条件、阶序、层合管长径比、以及壁厚比等参数的变化规律。

层合金属厚壁短管；剪切变形；转动惯量；频率影响系数；模态振型

工业技术的发展对流体输送与传热管件的高强度、抗腐蚀、耐磨损等综合性能的要求逐渐提高，层合金属管代替单一金属管已成为发展趋势和研究热点[1-4]，并在石油、化工及核工业等领域得到广泛应用[5-6]。管件在流体环境中极易发生流体诱导振动破坏，准确分析层合金属管的弯曲振动特性，使其固有频率远离流体的漩涡脱落频率或紊流抖振频率，对预防和控制该结构的振动破坏有重要意义[7-9]。

层合金属管属于层合圆柱壳结构，国内外很多学者对该结构的振动特性进行了研究，如李骁等[10]建立了轴向运动层合圆柱壳体的横向振动方程，分析了轴向速度、长径比和厚径比等对壳体振动特性的影响。张宇飞等[11]对轴向运动层合薄壁圆柱壳内共振特性进行了数值分析。Winfield等[12]采用梁模型对层合厚壁长锥形管的自由振动特性进行了研究。

由于圆柱壳沿轴向分布的弯曲振型接近于相应边界条件下的梁振型函数[13]，因此分析细长薄壁层合金属管的弯曲振动特性时，可以采用经典Euler-Bernoulli梁振动理论进行求解，并用截面组合刚度和等效质量加以反应其在厚度方向的非匀质特性[14]。但对于外径与壁厚之比小于20，长度与直径之比小于等于10的层合金属厚壁短管，不但要考虑其非匀质特性、还应考虑剪切变形及转动惯量的影响，即采用Timoshenko深梁振动理论对其弯曲振动特性进行分析。Timoshenko梁振动微分方程的特征值问题比较复杂，很难获得振动频率的显式解析表达式，国内外的学者提出了多样性指导演化算法、模态摄动法、归一化波数法等[15-19]许多种解决方法，但这些方法如用于管子的工程振动设计则稍显复杂。

本文拟推导出常用四种边界条件下，Timoshenko梁振动频率函数和振型函数的显式表达式，利用计算机代数系统求解固有频率并绘制振型曲线。确定剪切变形与转动惯量对层合金属厚壁短管的频率影响系数，分析该频率影响系数及管子振型曲线随阶序、长径比、及管子非匀质参数的变化规律，为层合金属厚壁短管的工程振动设计提供参考。

1 Timoshenko梁弯曲振动频率函数和振型函数

(1)

则考虑剪切变形和转动惯量影响的Timoshenko梁振动微分方程的特征值问题为[20]

kGA[Φ′(x)-Y″(x)]-ω2ρAY(x)=0

(2)

kGA[Φ(x)-Y′(x)]-EIΦ″(x)-ω2JΦ(x)=0

(3)

其中，Y(x)和Φ(x)应满足的边界条件为

简支端x=0或x=l，Y(x)=0，EIΦ′(x)=0

(4)

自由端x=0或x=l，EIΦ′(x)=0，kGA[Φ(x)-Y′(x)]=0

(5)

固支端x=0或x=l，Y(x)=0，Φ(x)=0

(6)

对等截面梁，由式(2)、(3)可得

(7)

式中，Y″(x)系数中的两项分别反映了剪切变形与转动惯量的影响，而最后一项则反映了剪切变形与转动惯量的耦合作用。

令梁振动的主模态函数为Y(x)=Cjerx，将其代入式(7)得

(8)

解该方程可得

(i=1, 2, 3, 4)

(9)

这样，梁振动的主模态函数为

ω<ωc时，Y(x)=C1sin(αx)+C2cos(αx)+

C3sinh(βx)+C4cosh(βx)

(10)

(11)

本文要确定截面剪切变形和转动惯量的影响特性，获得层合金属厚壁短管固有频率的简捷计算公式。因此参考文献[16]的方法，将式(11)中Timoshenko梁的固有圆频率ωi表示为

ωi=λiωio，(i=1, 2, 3, …)

(12)

式中：λi为截面剪切变形和转动惯量对结构固有频率的影响系数，ωio为Euler-Bernoulli梁的固有圆频率。

下面推导四种边界条件下，Timoshenko梁振动频率函数和振型函数的解析表达式。

1.1两端简支

将主模态函数式(10)代入两端简支边界条件式(4)，可得Timoshenko梁的频率方程为

(13)

因此有

(14)

(15)

令方程(15)中的系数为

(16)

又已知0≤λi≤1，这样方程(15)的解可表示为

(17)

这样，可得两端简支Timoshenko梁固有频率的显式计算公式为

(18)

式中：λi为频率影响系数；Λ和Δi为计算系数，i为频率阶序。

两端简支时，可推导出Timoshenko梁弯曲振动的振型函数为

Y(x)=sin(iπx)，0≤x≤l

(19)

1.2两端自由

由式(5)并结合式(2)和式(3)可得两端自由Timoshenko梁的边界条件为

(20)

令式(20)中的计算参数为B1，B2，B3，其中

(21)

将式(21)代入式(11)和(20)，并将主模态函数式(10)代入式(20)，可推导出两端自由时Timoshenko梁的频率函数为

cos(αl)cosh(βl)-1

(22)

其中计算参数C，D分别为

(23)

另外，由前面条件推导出两端自由时Timoshenko梁的振型函数为

ξisinh(βx)+cosh(βx)

(24)

(25)

由于两端固支、一端固支一端自由边界条件时的推导过程与两端自由类似，因此本文将这两种边界条件下Timoshenko梁的频率函数与振型函数的结果列于表1中。

2 层合金属厚壁短管非匀质特性

层合金属管是由两种不同金属材料管沿壁厚叠合而成。图1所示为铜钢层合管，其结构材料参数见表2。

按照郭建英等对层合金属管沿厚度方向的非匀质特性，可用截面组合刚度、等效组合质量、和等效转动惯量加以反应。这样，单位长度层合金属厚壁短管的等效质量为

m=ρ1A1+ρ2A2

(26)

结构的截面组合弯曲刚度EI与截面组合剪切刚度kGA分别为

EI=E1I1+E2I2

(27)

kGA=k1G1A1+k2G2A2

(28)

式中，A1，A2，I1，I2分别为内层铜管和外层钢管的截面积，及其截面对中性轴的惯性矩。k1、k2分别为内层铜管和外层钢管的截面剪切修正系数，采用Cowper法[22]来确定

(29)

式中：ν1、ν2分别为内、外层管材料的泊松比；m1=D1/D2，m2=D2/D3分别为内、外层管的内外径之比。

(30)

图1 铜钢层合管

结构参数数值D1/mm42D2/mm44D3/mm50密度ρ1/(kg·m-3)8930杨氏弹性模量E1/GPa110剪切弹性模量G1/GPa40．7密度ρ2/(kg·m-3)7850杨氏弹性模量E2/GPa206剪切弹性模量G2/GPa79．2长度l/mm500，300，200

3 实验测试与模态分析

为了验证前面理论分析结果的准确性，本文用北京东方振动和噪声技术研究所的INV3018A和DASP-V10振动信号采集分析系统，对铜钢层合厚壁管(结构材料参数见表2)的固有频率进行了实验测试。实验中，用两条高弹性皮筋悬挂管子以实现两端自由支撑。为了更准确的获得各阶频率的测试值，沿管子轴线方向，在距离管子两端各1/4处分别安装两个加速度传感器，将两个传感器的实测频谱图对比之后获得最终的实测结果。另外，沿管子轴线方向等间距设置10个测点，采用力锤对测点进行逐点敲击。

图2(a)～图2(c)分别显示了两端自由状态下，不同长度铜钢层合管固有频率的实测自谱-FFT幅值谱图。

由圆柱壳振动理论可知，直径较大的管子在受到径向冲击力时，会产生横向弯曲振动，也会产生周向振动。因此，实验测到的管子振动特性应包括管子的横向弯曲振动和周向振动两种模态。由于管子在流体环境中主要发生的是横向弯曲共振破坏，因此本文分析的是层合金属厚壁短管的横向弯曲振动频率，这需要结合模态分析来识别图2中管子的横向弯曲振动频率的数值。

本文用有限元软件ANSYS对实测用的铜钢层合管进行了模态分析。图3显示了长度为500 mm的管子在两端自由时的前8阶固有频率和模态。

(a) l=500 mm

(b) l=300 mm

(c) l=200 mm

(a) f=1 059.2 Hz

(b) f=2 667.0 Hz

(c) f=4 331.0 Hz

(d) f=4 506.4 Hz

(e) f=4 694.3 Hz

(f) f=4 878.3 Hz

(g) f=5 506.4 Hz

(h) f=6 394.7 Hz

比较图2(a)与图3(a)～图3(h)可以发现，图2(a)中实测的第1、2峰值对应的频率1 072.1 Hz和2 673.1 Hz应为层合管的1、2阶横向弯曲振动固有频率，模态振型如图3(a)和图3(b)所示；由于传感器正好位于图3(c)所示的1阶周向模态振型的节点处，因此该特征值并未被检测到；图2(a)中实测第3峰值对应频率4 510.8 Hz为层合管的2阶周向振动模态特征值，模态振型如图3(d)所示；实测的第4峰对应频率值4 653.85 Hz为层合管的3阶弯曲振动频率，模态振型如图3e所示；之后实测的第5、6、7峰值的频率值4 830.5 Hz、5 342.6 Hz、6 655.1 Hz分别对应图3(f)～图3(h)中管子的3，4，5阶周向振动模态特征值。采用同样方法可以识别图2(b)和图2(c)中长度分别为300 mm和200 mm的层合管的横向弯曲振动频率。

4 结果与讨论

4.1理论解、有限元解与实测值的比较

已知ωi=2πfi，fi为结构固有频率，Hz。将该式代入频率函数式(22)和(23)，利用计算机代数系统Maple编程绘制该频率函数曲线，其与横坐标轴的各交点即为两端自由条件下层合管横向弯曲振动的固有频率值。图4显示了长度为500 mm的铜钢层合管的频率函数曲线及前三阶固有频率的数值。

表3列出了在两端自由条件下，长度分别为500 mm、300 mm和200 mm的铜钢层合管前3阶弯曲振动固有频率的理论解、有限元解和实测值及误差。在表3中，误差1为理论解与实测值相比的误差，其最大值为-4.56%；误差2为理论解与有限元解相比的误差，其最大值仅为-0.76%。该结果表明上述理论方法可以对层合金属厚壁短管的弯曲振动固有频率和振型进行准确求解。误差分析发现，误差1主要来源于实测管件的加工不均匀。例如，长为300 mm的复合管，其实测重量为1.432 kg，而按照其结构参数计算得重量为1.405 kg，误差为-1.92%；这种加工不均匀同时也会影响结构的刚度，最终使结构固有频率的理论解与实测值存在偏差。

图4 两端自由时铜钢层合管频率函数曲线(l=500 mm)

长度l/mm频率/Hz实测值/Hz理论解/Hz有限元解/Hz误差1/%误差2/%500300200f11072．11057．21059．2-1．39-0．19f22673．12652．82667．0-0．76-0．53f34655．14658．74694．30．080．76f12831．32710．92721．3-4．25-0．38f26450．56156．46199．7-4．56-0．70f3103509996．510022．2-3．42-0．26f15537．55416．25439．9-2．19-0．44f2112121095810962．9-2．27-0．05

4.2频率影响系数λi及其变化特性

由式(12)可知，将基于Timoshenko理论求解得层合管的固有频率值与基于Euler-Bernoulli梁理论求解的固有频率值相比，可获得剪切变形和转动惯量对管子固有频率的影响系数λi。另由式(18)可知，频率影响系数λi与阶序i、层合管长径比l/Rg、及其非匀质参数E/kG有直接关系，因此下面分析该频率影响系数λi随这些因素的变化特性。

4.2.1λi随长径比l/Rg、阶序i、及边界条件的变化

图5显示了四种边界条件下，剪切变形与转动惯量对铜钢层合管固有频率的影响系数λi随长径比和阶序的变化规律。由图5可知，剪切变形与转动惯量会降低管子的固有频率，这是由于转动惯量会增加管子的惯性，而剪切变形会降低管子的刚度。另外，四种边界条件下，频率影响系数λi的数值均随长径比l/Rg的增大而增大，随阶序i的增大而减小；这表明结构的长径比越小，剪切变形与转动惯量对其固有频率的影响越大，而且对高阶频率的影响尤为显著。该结果与振动力学研究结论相符。

从图5还可看出，边界条件对λi有较大影响。例如，对工程振动设计中重点关注的1阶频率影响系数λ1而言：当结构长径比l/Rg由6.125增到61.25时，两端固支时λ1由0.232 3增大到0.967 5，见图5(a)；两端自由时λ1由0.548 8增大到0.985 8，见图5(b)；两端简支时λ1由0.641 5增大到0.992 2，见图5(c)；一端固支一端自由的频率影响系数λ1由0.741 0增大到0.998 8，见图5(d)。该结果表明，剪切变形与转动惯量对层合管弯曲振动固有频率的影响，在两端固支时最大，两端自由、两端简支次之，一端固支一端自由时的影响最小。这是由于边界支撑条件对结构的系统刚度有较大影响，系统刚度的改变引起模态特征值的变化。

4.2.2λi随层合管结构与材料组合的变化

层合金属管的结构变化是指其内、外层管的不同壁厚组合，材料变化是指其内、外层管的不同材料组合。图6(a)和图6(b)分别显示了两端简支条件下，铜钢层合管和铝钢层合管的剪切变形与转动惯量对其弯曲振动固有频率的影响系数λi，随其壁厚比n和阶序i的变化特性。层合管的壁厚比n是指内层管壁厚与总管壁厚之比。

由图6(a)可以看出，对于铜钢层合管，当其壁厚比n由0.0(这时为纯钢管)增大到1.0(这时为纯铜管)时，其前8阶频率影响系数λi(i=1～8)的均有微弱减小，但最大减小幅度仅为1.37%。由图6(b)可以看出，对于铝钢层合管，当其壁厚比n由0.0(这时为纯钢管)增大到1.0(这时为纯铝管)时，其1阶频率影响系数λ1由0.970增大到0.980，增幅1.03%；而第8阶频率影响系数λ8则由0.475增大到0.545，增幅14.73%。

对上述结果分析发现，剪切变形与转动惯量对复合管的频率影响系数λi随其结构与材料组合的变化特性，是由管子的非匀质无量纲参数E/kG引起的，该参数可表明层合管系统刚度的大小。如果层合管的系统刚度随其壁厚比n的变化幅值较小，则其各阶频率影响系数λi的变化幅度均会较小；反之，如果层合管的系统刚度随其壁厚比n的变化幅值较大，则其频率影响系数λi的变化幅度也会增大，尤其是高阶频率影响系数会随壁厚比n增大而明显变化。

(a) 两端固支

(b) 两端自由

(c) 两端简支

(d) 一端固支一端简支

(a) 铜钢层合管

(b) 铝钢层合管

上述结论可以由图7得到进一步验证。图7显示了铜钢层合管与铝钢层合管的参数E/kG随其壁厚比

图7 E/kG～n

4.3振型曲线的变化特性

由前面理论推导可知，两端简支时，Euler-Bernoulli与Timoshenko梁理论的振型函数相同，且不受层合管的非匀质无量纲参数E/kG的影响。而其他三种边界条件时，二者的振型函数不相同，且可能会受参数E/kG的影响，即振型曲线可能会随层合管壁厚比n的变化而变化。为此，本文用MAPLE编程绘制了不同壁厚比(n=0.25，n=0.5，n=0.75)时，分别基于Euler-Bernoulli与Timoshenko理论的铜钢层合管(长度为500 mm，总壁厚为4 mm)的前4阶振型曲线，见图8～图10。

(a) 1阶

(b) 2阶

(c) 3阶

(d) 4阶

由图8可知，两端自由时，基于Euler-Bernoulli理论与Timoshenko理论所解得的振型曲线波形相同，节点位置也相同；而且对层合金属管而言，其前4阶振型曲线不随壁厚比n的变化而变化。由图9可知，两端固支时，上述两种理论所解得的振型曲线波形也相同，但随阶数的增加其节点位置不再相同；对铜钢层合管而言，其三阶之后的振型曲线幅值随壁厚比n的增大而增大，这是由于管子的刚度变大随n的增大而变大。由图10可知，一端固支一端自由时，由这两种理论所解得的振型曲线的节点位置也不同，而且振动幅值也会随层合金属管壁厚比n的不同而变化。

总之，在两端自由和两端简支边界条件下，截面剪切变形和转动惯量对层合管的振型曲线没有影响，但在两端固支和一端固支一端自由边界条件下，其对层合管振型曲线的影响则比较显著。

5 结 论

(1) 剪切变形和转动惯量会降低层合金属管的固有频率，因此其对管子的各阶频率影响系数0.0≤λi≤1.0。而且，阶序越高，层合管长径比l/Rg越小，λi值越小。另外，当层合管长径比l/Rg减小时，一端固支一端自由时的1阶频率影响系数λ1的减小幅度最小，两端简支和两端自由时次之，而两端固支时的减小幅度最大。

(a) 1阶

(b) 2阶

(c) 3阶

(d) 4阶

(a) 1阶

(b) 2阶

(c) 3阶

(d) 4阶

(2) 层合金属管的刚度参数E/kG会对其频率影响系数λi产生影响，但影响程度不同。例如，随着壁厚比n增大，铜钢层合管的频率影响系数λi变化幅度非常小，而铝钢层合管的频率影响系数λi变化幅度却较大。

(3) 在两端自由和两端简支边界条件下，剪切变形和转动惯量对层合金属管的振型曲线没有影响；但在两端固支和一端固支一端自由边界条件下，其影响则比较显著，使管子振型曲线的节点位置发生变化。

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Effectsofsheardeformationandrotaryinertiaonthevibrationoflaminatedthick-walledshorttubes

GUOJianying1,BAIYanyan2

(1. College of Mining Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China; 2. College of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

The effects of non-homogeneit, shear deformation and rotary inertia are necessary to be taken into account in the vibration analysis of laminated metal thick-walled short tubes. Based on the Timoshenko’s beam theory, the analytical expressions of the frequencies and modal functions of laminated metal tubes were deduced under four kinds of boundary conditions: hinged-hinged, clamped-clamped, free-free and clamped-free. The natural frequencies of copper-steel laminated tubes were solved and the mode shapes were mapped by use of the computer algebra system MAPLE for these four cases. The natural frequencies of three copper-steel laminated tubes with different lengths were also measured by using both the method of hammer tests and the finite element modal analysis. The theoretical solutions of the first three natural frequencies of the copper-steel tubes were compared with the measured values, the maximum error being -4.56%, and also compared with the finite element results, the maximum error being -0.76%. The influential coefficients of shear deformation and rotary inertia on the frequencies of laminated metal thick-walled short tubes were solved. The variations of the frequency influential coefficients and modal shapes along with the boundary condition, frequency order, aspect ratio, non-homogeneous material parameter of laminated metal tubes were also investigated.

laminated metal thick-walled short tubes; shear deformation; rotary inertia; frequency influential coefficient; mode shape

TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.017

山西省自然科学基金(2013011025-2)；山西省研究生教育改革研究课题(2016JG40)

2016-05-23 修改稿收到日期：2016-09-06

郭建英 女，博士，副教授，1972年11月生