考虑多间隙耦合的齿轮机构动力学验证实验研究

张慧博， 游斌弟， 赵 阳

(1. 河北工业大学 机械学院, 天津 300130； 2. 哈尔滨工业大学(威海)船舶与海洋工程学院， 威海 264209; 3. 哈尔滨工业大学 航天学院， 哈尔滨 150001)

考虑多间隙耦合的齿轮机构动力学验证实验研究

张慧博1， 游斌弟2， 赵 阳3

(1. 河北工业大学 机械学院, 天津 300130； 2. 哈尔滨工业大学(威海)船舶与海洋工程学院， 威海 264209; 3. 哈尔滨工业大学 航天学院， 哈尔滨 150001)

在前期研究建立的考虑多间隙耦合的齿轮机构系统动力学模型基础上，利用相应的动力学实验验证了多间隙耦合建模方法的准确性。建立了考虑多间隙耦合的齿轮转子系统试验台，在试验中同时考虑轴承径向间隙和齿侧间隙，并能够实现径向间隙与齿侧间隙的大小可调。结合试验数据，对比分析了不同转速和间隙大小下的振动频率与幅值。由分析结果可知，相比于传统的多间隙模型，提出的多间隙耦合模型在频率和振幅的计算上与试验数据更为吻合，且能够体现出转速和间隙大小变化可能引发的耦合振动现象。

多间隙; 齿轮机构; 动力学建模; 实验研究

多体系统动力学是解决复杂机械系统的设计、分析和控制等问题的重要工具。随着高速、高精度机械工程的发展，对机械系统运动精度和运行稳定性的要求越来越高，间隙对系统动态特性的影响问题逐渐受到人们的重视[1-3]。但是，由于模型中过多的简化，以及研究对象比较简单，基本都是针对单间隙问题进行研究的。然而，对于工程中实际应用的机构而言，往往存在多个或多种间隙，如曲柄摇杆机构就存在四个旋转铰间隙；曲柄滑块机构存在三个旋转铰间隙和一个滑动间隙；齿轮系统则包含轴承的径向间隙和齿轮的齿侧间隙。因此，对于多间隙机构的研究与工程实际的结合更为紧密，也更具有应用价值。

而对于齿轮机构的考虑多间隙的动力学研究，开始于Kahraman等[4-7]提出的同时考虑齿侧间隙和径向间隙的齿轮系统非线性模型。之后，张锁怀等[8-9]分析了多间隙对齿轮传动系统振动特性和不平衡响应的影响。Farshidianfar等[10]分析了多间隙齿轮机构的非线性特性。随后，崔立等[11-13]都在此基础上分别建立了考虑因素更为全面的多间隙模型。但现有的模型中，齿轮的径向间隙模型和齿侧间隙模型是相互独立的，忽略了齿轮的径向跳动对轮齿啮合点位置以及齿侧间隙的影响。而实际上，在齿轮传动过程中，当轴承径向间隙引起齿轮径向跳动时，轮齿之间的实际中心距发生变化，啮合点和齿侧间隙大小都随之改变，这种径向间隙和齿侧间隙的耦合现象在现有的模型中无法体现。而在一些特殊的应用背景下，如航天机构中，低速、轻载以及零重力会使得多间隙之间的耦合振动更加明显，且难以抑制。

因此，为了深入研究多间隙耦合对于齿轮机构动力学特性的影响，在前期理论研究的基础上[14]，针对考虑多间隙耦合的齿轮转子系统动力学模型，开展动力学验证试验研究。建立多间隙齿轮转子系统试验平台，并结合试验数据对比分析传统的多间隙齿轮机构动力学模型与提出的考虑动态齿侧间隙与轴承径向间隙耦合的多间隙模型在动力学响应上的差别。

1 多间隙齿轮机构系统动力学模型

在齿轮机构中，由于设计、制造和安装误差，在轴承和齿侧都会存在间隙，轴承间隙会导致齿轮产生径向跳动，同时还会引起齿侧间隙的动态变化，而齿轮处的扭转振动又会对径向振动产生影响。因此，为了反映多间隙导致的耦合振动现象，建立考虑多间隙的齿轮机构非线性动力学模型，如图1所示。

图1 齿轮机构动力学模型

图1为齿轮传动系统动力学模型。其中，Rp、Rg、Ip、Ig、θp和θg分别为主、从动齿轮的节圆半径、转动惯量和角位移；α为压力角；Tp和Tg分别为驱动和负载转矩；Orp、Org、Obp和Obg分别为主、从动齿轮轴的回转中心和轴套中心；erp、erg、ebp、ebg、ebrp和ebrg分别为主、从动齿轮的转子中心矢量、轴承中心矢量和间隙矢量；齿轮的中心距矢量可表示为epg；bt则为齿轮的动态齿侧间隙。在动力学建模中，首先建立动态齿侧间隙模型，进而给出齿轮扭转振动模型和径向振动模型，最终给出考虑径向间隙和动态齿侧间隙的多间隙齿轮机构动力学模型。

1.1多间隙耦合模型

为了建立齿轮径向振动模型，可将轴承简化为平面的轴与轴套，轴与轴套之间的半径之差为径向间隙cri。在图1中，可用径向间隙矢量ebri表示，即：

ebri=eri-ebi

(1)

进一步，用间隙矢量描述轴与轴套之间的嵌入深度，即嵌入量δi：

(2)

同时，在齿轮传动过程中，齿轮转子会与轴套产生径向碰撞，引起齿轮径向跳动，进而使得齿轮的齿侧间隙发生动态变化。在图1中，用中心距矢量epg表示齿轮的实际中心距AR，则

AR=|epg|=|(ebp+ebrp)-(ebg+ebrg)|

(3)

实际中心距AR随着间隙矢量的变化而变化，同时AR的变化会进一步导致齿侧间隙大小的改变。根据齿轮啮合的几何关系可知，啮合位置随实际中心距变化时，动态齿侧间隙可表示为：

(4)

式中，Rp′为主动轮的分度圆半径，bo为齿轮的初始齿侧间隙，Zp为主动轮的齿数，主动轮节圆齿厚为sp′，而从动轮节圆齿厚为sg′，α′则为主、从动轮齿啮合时的实际啮合角，其函数关系可表示为：

(5)

根据式(1)、(3)和(4)，给出动态齿侧间隙bt的函数表达式为：

bt(t)=2A0cos(α0)(inv(α′)-inv(α0))+bo

(6)

在动力学验证试验中，可调整中心距AR′的大小，由式(5)和(6)可知，齿轮的实际啮合角α′发生变化，齿侧间隙bt′也随之改变。此时，可将AR′看做调整后的初始中心距A0′，bt′看做调整后的初始齿侧间隙bo′。而此时的实际啮合角α′仅受到轴承的径向跳动影响，径向跳动幅度在实验中可以通过控制轴与轴套之间的径向半径之差实现。

1.2齿轮系统动力学模型

根据多间隙齿轮机构的特点，可以建立考虑多间隙耦合的齿轮机构系统动力模型，即：

(7)

其中，利用Lankarani-Nikravesh模型建立齿轮轴承的径向碰撞力模型，其表达式为：

(8)

式(8)中，接触刚度Kri可表示为：

(9)

式中，υbi和Ebi分别为轴套的泊松比和弹性模量；υji和Eji则分别为轴的泊松比和弹性模量。

在式(8)中，径向碰撞力的阻尼系数Cri为：

(10)

同时，主、从动齿轮之间的动态啮合力Ft(t)可表示为：

(11)

式中，等式右边分别为齿轮的弹性啮合力和阻尼力。在弹性啮合力中，Kt(t)为时变啮合刚度，是一个周期性函数，用于表述轮齿啮合时重合齿数的变化对啮合刚度的影响，可表示为：

Kt(t)=km+kacos(ωmt+φ)

(12)

式中：km为平均啮合刚度；ka为刚度幅值；啮合频率ωm是与齿数和转速相关的函数；φ为初始相位。

在图1中，主、从动齿轮在坐标系中有三个方向的运动，即沿x方向的平动，沿y方向的平动，以及绕z轴的转动。可将间隙矢量在x，y方向上的分量表示为ebrpx，ebrpy，ebrgx和ebrgy。则在考虑齿轮径向运动时，相对啮合位移可表示为：

(ebrpy-ebrgy)cosα′

(13)

(14)

式中:当相对位移gt(t)≥0时，主、从动齿轮正常啮合；当-bt(t)

式(11)中的啮合阻尼力的主要参数为非线性阻尼系数Ct(t)，用于描述能量损失，即：

(15)

式中:Cm为最大阻尼系数；d为最大嵌入量；β为嵌入比，β=fg(t)/d。

2 齿轮转子系统振动特性分析

为了能够在试验中同时考虑齿轮机构的轴承径向间隙和轮齿齿侧间隙，设计了可调间隙的多间隙齿轮转子系统试验装置。该装置的最大特点是能够实现径向间隙与齿侧间隙大小可调，同时可以控制齿轮转速，进而验证多间隙耦合理论模型的正确性。该试验装置的具体结构如图2所示。图中，主要包括主、从动轮、驱动电机、支架、滑块、从动轮轴几个主要部分组成。其中，滑块放在支架上的滑槽内，可在主、从动齿轮中心距方向上左右移动，从而调整主、从动齿轮的中心距，进而改变齿侧间隙的大小，保证齿侧间隙大小可控。从动轮轴的一端通过螺纹固定在滑块上，另一端的轴径可以更换，进而与从动齿轮配合，保证径向间隙大小可调。为了能够模拟低速、轻载以及零重力，在试验中没有对从动齿轮进行加载，为了研究在自由状态下径向碰撞和齿侧碰撞的现象。同时转速控制在180 r/min，在航天机构中，执行末端(控制力矩陀螺除外)一般转速都是在1 r/min以下，考虑到减速器的减速能力，输入端转速一般不会超过180 r/min。同时，为了等效空间微重力环境，试验装置中没有采用大部分齿轮试验中的齿轮轴水平的布置方式，而是采用了齿轮垂直于水平面的布置方式，这样在齿轮的回转平面内不受重力的影响，径向碰撞更为自由。

图2 多间隙耦合齿轮转子系统试验装置结构简图

试验装置原理图设计完成后，要面临实际的设计、加工与装配问题。此时，还有几点因素需要考虑。首先，是齿轮的选取问题，因为齿侧间隙的调整是通过改变两齿轮实际中心距实现的，但根据式(6)可知，中心距的增加量ΔA(ΔA=A′-A)与齿侧间隙的比例关系约为1∶1。因此为了保证齿侧间隙在较大范围内可调，就要选取模数较大的齿轮，这样齿高较长，不会因为中心距过大而无法啮合。最终选取齿轮模数为4的齿轮。第二，试验装置要能够实现转速可调，用于研究不同转速对于系统动态响应的影响，因此选取了直流伺服电机，转速可调范围在0～300 r/min。最后，为了减少试验装置中可能会出现的激扰信号，没有采用减速器，避免减速器的齿轮啮合频率影响测量结果，由于没有减速器，齿轮的尺寸不能过大，否则启动和制动时过大的惯性力会直接作用在电机上，影响电机的正常运转。最终，综合考虑齿轮惯量以及整个装置的尺寸，选取齿轮齿数为20的齿轮。通过反复的设计和校核，最终研制出了多间隙齿轮转子系统试验装置，实物如图3所示。

图3 多间隙耦合齿轮转子系统试验装置实物图

在此基础上搭建多间隙齿轮转子系统试验平台，平台包括多间隙齿轮转子系统试验装置、电机驱动器、加速度传感器、信号采集器、工控机等。其中电机驱动器用于控制电机转速，实现主动齿轮转速可调。采用加速度传感器测量系统振动，将其安装在从动轮的轴上，采用三轴加速度传感器，重点测量沿中心线方向上的加速度，该方向上不但能够观测到轴与齿轮接触碰撞时的振动频率，齿轮啮合振动在该方向上的分量也同时能够观测到。加速度传感器将采集到的加速度信号通过信号采集器传给工控机，利用工控机再进一步分析频谱特性。该试验系统的特点是能够方便地调整轴承径向间隙和齿侧间隙的大小，同时能够控制驱动转速，进而研究多间隙耦合下的齿轮转子系统的振动特性。试验平台中所用到设备的主要参数如表1所示。

表1 试验设备参数

利用多间隙齿轮转子系统试验平台进行动力学验证试验，并结合试验数据对比分析本文提出的多间隙耦合模型与传统的多间隙模型在动力学特性上的差别。其中，对比模型采用Kahraman提出的多间隙齿轮系统动力学模型[4-7]，在其径向间隙处，考虑了非线性接触刚度和非线性阻尼系数，而在齿轮啮合方面，考虑了时变啮合刚度和阻尼特性。但认为齿侧间隙为常数，主要与加工和装配精度相关，没有考虑径向间隙处的运动偏差导致齿侧间隙的动态变化，即其系统动力学方程与文中式(7)基本相同，但其齿侧间隙为常值，而本文为动态齿侧间隙如式(6)所示。试验验证过程采用多间隙耦合模型和多间隙无耦合模型与试验数据进行比对，齿轮的具体结构参数如表2所示。

表2 齿轮转子系统结构参数

根据以上参数，进行相应的数值计算和试验，将数值计算结果与试验结果进行比对。在试验中主要测量从动齿轮轴的振动加速度，因此在数值计算中也同样获取该项计算数据，然后进行频谱分析，以便于和试验数据进行比对。首先，研究不同转速对系统振动特性的影响。取轴承径向间隙cr与初始齿侧间隙bo都为100 μm，主动齿轮的驱动转速ωp分别取60 r/min、120 r/min和180 r/min，数值计算数据和试验数据的对比图，如图4、图5和图6所示：

图4、图5和图6为不同转速下从动齿轮的振动频谱图。图中，横坐标为频率，而由于在试验中直接获取的是加速度数据，需要通过快速傅里叶变换转化为频率谱，因此纵坐标采用加速度振幅表示系统的振动特性。首先，从图4、图5和6可以看出，试验数据的频率谱中主要包括三个振动峰值，根据转速和齿轮结构参数可知，这三个振动峰值所对应的频率分别为：从动齿轮轴与轴套之间的径向振动频率fr，主要是由于齿轮的轴与轴套之间处于连续接触引起的；齿轮啮合频率fm，是由于轮齿的啮入和啮出引起的；齿轮啮合频率2fm，主要是由于齿侧间隙和径向间隙等非线性因素的存在导致的。在数值计算中，多间隙耦合模型和无耦合模型的频率谱中都能反映出以上三种频率，说明两种模型在计算齿轮的基本振动规律上是正确的。从以上三图中振幅随转速的变化趋势上看，在试验数据中，转速在120 r/min时，径向振动幅值和啮合振动幅值及其倍频都明显高于其他两种转速下的振幅，但此时频率特性仍然与其他两组数据一致，因此可以排除试验误差的影响，这一现象是径向间隙和齿侧间隙导致的耦合振动，进而使得振幅突然增大。而从耦合模型和无耦合模型的频率谱中可以看出，耦合模型的振幅也出现了类似的现象，在转速为120 r/min时，振幅较大。但在无耦合模型中没有出现，无耦合模型的振幅是随着转速的提高而增大的，这一变化趋势也与试验数据差距较大。

(a) 无耦合模型

(b) 耦合模型

(c) 试验数据

(a) 无耦合模型

(b) 耦合模型

(c) 试验数据

(a) 无耦合模型

(b) 耦合模型

(c) 试验数据

从以上定性分析中可以看出，由于在试验中同时加入了径向间隙和齿侧间隙，使得系统出现耦合振动，导致频率谱中出现一定程度的小幅波动。从试验的角度说明齿轮机构中确实存在径向间隙与齿侧间隙的耦合现象，并会对系统的振动特性造成不利影响。本文提出的多间隙耦合模型考虑了径向间隙与动态齿侧间隙的耦合关系，能够反映出试验中由于多间隙耦合导致的非线性现象，相比于多间隙无耦合模型而言，更为符合实际。

进一步，分析数值计算与试验数据的差别，主要从频率和振幅两方面进行比对，如表3和4所示。

由表3和4可知，多间隙耦合模型和无耦合模型在径向振动频率和啮合振动频率的计算上与试验数据误差较小，但在振幅的计算上无耦合模型与试验相差较大，尤其在转速为120 r/min时，计算误差非常大，说明无耦合模型无法准确反映多间隙齿轮机构可能出现的耦合振动。而耦合模型的振幅误差相对较小，且能够反映出120 r/min时出现的耦合振动，这说明耦合模型由于考虑了径向间隙与动态齿侧间隙之间的耦合关系，能够较为准确地反映多间隙齿轮机构的耦合振动特性，相比于传统的多间隙模型更符合实际。

进一步验证不同径向间隙与齿侧间隙的大小下齿轮转子系统的振动特性。取驱动转速为120 r/min，通过改变从动齿轮处滑块的位置和更换从动轮的轴径，得到三种不同间隙组合的试验数据，即cr=200 μm,bo=100 μm；cr=100 μm,bo=200 μm；cr=200 μm,bo=200 μm。其振动频率谱的数值计算值和试验结果分别如图7到9所示。

表3 不同转速下振动频率的理论与试验数据比对

表4 不同转速下振幅的理论与试验数据比对

图7～图9为不同间隙下的从动齿轮振动加速度频谱图，反映了不同径向间隙与齿侧间隙组合下的系统振动特性。从不同间隙组合下的试验数据中可以看到，在径向间隙cr=200 μm，初始齿侧间隙bo=100 μm时，齿轮的振幅明显高于其他两种间隙组合，说明在该间隙组合下，由于多间隙碰撞导致系统产生耦合振动现象。从多间隙耦合模型的数据中也能够反映出系统在cr=200 μm、bo=100 μm时出现的耦合振动现象。

(a) 无耦合模型

(b) 耦合模型

(c) 试验数据

(a) 无耦合模型

(b) 耦合模型

(c) 试验数据

(a) 无耦合模型

(b) 耦合模型

(c) 试验数据

但无耦合模型的振幅随间隙的变化规律与试验有一定差别，无耦合模型反映出在cr=200 μm、bo=200 μm时系统的振动幅值最大，而在cr=200 μm、bo=100 μm时，系统并没有出现明显的耦合振动现象。由此可知，多间隙耦合模型在间隙变化对系统振动特性影响的计算中与试验数据的吻合较好，能够反映在cr=200 μm、bo=100 μm时系统出现的耦合振动现象。

进一步，从定量的角度分析数值计算与试验数据的差别，主要从频率和振幅两方面进行比对，如表5和6所示。从中可以看出，多间隙耦合模型和无耦合模型在径向振动频率和啮合振动频率的计算上与试验数据误差较小，但在振幅的计算上无耦合模型与试验误差较大，尤其在间隙大小为cr=200 μm、bo=100 μm时，误差较大，说明无耦合模型无法准确反映多间隙齿轮机构可能出现的耦合振动现象。而耦合模型的振幅误差相对较小，且能够反映出cr=200 μm、bo=100 μm时出现的耦合振动现象。

综上所述，在考虑多间隙的齿轮机构试验中，发现了由于径向间隙和动态齿侧间隙共同作用导致的耦合振动现象，通过对试验数据进行分析，证明本文提出的耦合模型能够较为准确的反映这一耦合振动现象，同时在频率和振幅的计算上也较为准确。而无耦合模型由于没有考虑径向间隙与齿侧间隙的耦合关系，忽略了齿侧间隙的动态变化，导致与试验结果差距较大。

表5 不同间隙下振动频率的理论与试验数据比对

表6 不同间隙下振幅的理论与试验数据比对

同时，通过试验分析发现，理论计算与试验数据还存在一定的误差，经过分析认为误差源主要由于以下几方面原因导致：① 数值计算中，接触刚度和阻尼的选取都是采用经验公式计算出来的，与实际装置存在一定误差，这就直接导致碰撞力大小的计算与实际碰撞力之间存在偏差，最终导致振动幅值计算不准确；② 由于从动轮的轴与轴套加工精度的限制，使得表面粗糙度以及整体形貌与理论模型存在差别，这是导致试验中的振动幅值与理论计算差距较大的原因之一。可以进一步提高轴的加工精度，以减小试验误差；③ 在试验中，受到齿形加工误差的影响，实际齿侧间隙会与理论值产生一定的偏差，且分布并不均匀。因此，在试验中齿侧间隙变化对系统振动特性的影响并没有理论分析时那么有规律性。在今后的研究中应该选用高精度的齿轮进行试验；④ 主动齿轮与驱动电机之间利用联轴器直接安装在一起，使得主动齿轮的转动并不平稳。在今后试验装置的改进上，可以在驱动电机与主动齿轮之间增加飞轮，并采用带传动方式，以获得更为稳定的输入。

3 结 论

(1) 提出了一种新的考虑多间隙耦合的齿轮转子系统动力学建模方法，在模型中能够考虑轴承径向间隙、动态齿侧间隙以及时变啮合刚度等非线性问题，能够更全面的反映多间隙耦合效应对系统动态特性的影响。

(2) 研制了考虑多间隙耦合的齿轮转子系统试验台，可以同时考虑齿轮的轴承径向间隙与齿侧间隙，并实现间隙大小可调。利用加速度传感器测量齿轮转子系统的振动加速度，并通过信号采集器传给工控机进行数据处理。可以用于研究多间隙耦合效应对齿轮转子系统动力学特性影响规律。

(3) 通过多间隙齿轮机构的动力学试验发现，在同时含有轴承径向间隙和齿侧间隙的多间隙齿轮机构中存在耦合振动现象。通过理论数据与试验数据比对研究发现，本文提出的多间隙耦合模型能够很好的反映系统的耦合振动特性，相对于传统的多间隙模型，在振动频率和幅值的计算上与试验数据的吻合更好。

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Dynamicsexperimentalinvestigationonthegearmechanismconsideringthecouplingbetweenmultipleclearances

ZHANGHuibo1,YOUBindi2,ZHAOYang3

(1. School of Mechanical Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin300130, China; 2. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology Weihai 264209, China; 3. School of Astronautics Harbin Institute of Technology, Herbin150001, China)

Based on the previous research on the dynamical model of gear mechanism with multiple clearances, dynamic experiments in consideration of the coupling between multiple clearances were carried out. The radial clearance and tooth backlash were considered in the experiment, with their valuies adjustable. By virtue of the test data about vibration performances, the vibration frequency and amplitude under different rotating speeds and clearances were analyzed and compared. The results prove that, compared with the traditional multiple clearances model, the calculated frequencies and amplitudes by the proposed dynamic model are better consistent with the experimental data. And the new model can also reflect the coupling vibration phenomenon caused by multiple clearances collisions.

multiple clearances; gear mechanism; dynamic modeling; experiment

TH132

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.036

2016-04-21 修改稿收到日期：2016-08-10

张慧博 男，博士，讲师，1985年2月生

游斌弟 男，副教授，1981年5月生