极区飞行法向量惯性导航算法原理

张广栋，严恭敏，翁 浚，杨洪涛

（1.中国科学院 西安光学精密机械研究所，西安 710119；2.西北工业大学 自动化学院，西安 710129）

极区飞行法向量惯性导航算法原理

张广栋1，严恭敏2，翁 浚2，杨洪涛1

（1.中国科学院 西安光学精密机械研究所，西安 710119；2.西北工业大学 自动化学院，西安 710129）

为克服经典力学编排方案在高纬度地区无法定位定向的问题，提出了以地球坐标系为导航坐标系的法向量惯性导航力学编排方案。该方案采用法向量代替传统的经纬度坐标表示水平位置，适合于全球范围内进行导航。推导了法向量导航误差方程，可用于组合导航算法设计，从而对惯导误差进行校正，满足全天候长航时的导航要求。通过仿真验证了法向量导航算法误差特性，证明了该方案可以满足飞机在极区飞行时的需要，解释了飞跃极点时导航定位误差跳变的原因。

极区导航；极区飞行；法向量导航；误差方程

随着全球气候逐渐变暖，北极冰盖也逐年消减，夏季冰面以相当快的速度消融，极区的资源价值、航运等问题也日益突出。另一方面，除了经济利益之外，当今科学技术发展瞬息万变，国际政治经济军事形势错综复杂，各大国在极区的利益形势暗流涌动，我国只有具备在极区的飞行能力才有发言权。对于现代化的飞机，必须拥有全球飞行的能力及迅速反应的能力，这要求飞机的准备时间要短，速度要快，还要求航线距离要尽可能短[1]。地球上任意两点之间最短的是大圆航线，而长距离大圆飞行时往往要穿越极区，例如从东半球某地飞往西半球某地。对民航客机而言，例如中国飞往美国，如果采用极区航线，就可以不用横跨太平洋，这样不仅缩短了航程，还减少乘客长途飞行的疲倦感，并且节省燃油，从而通过增加载客量而使成本降低。

国外对极区导航的研究起步很早，1914年8月21日俄国皇家海军上尉 Y.I.Nagurskiy 第一次驾驶飞机飞抵高纬度地区后标志着极地探险开启了新篇章。1941年K.C.Maclure在其论文“Polar Navigation”中提出了格网导航的概念并建议用陀螺作为方位跟踪的设备，1945年用该方法完成了白羊座I号飞向北极点的导航任务。由于所处的地理位置等因素，在极区导航的研究方面俄国的发展遥遥领先于北美和欧洲国家。技术保护的限制使得俄国早期关于极区导航方面的研究情况不得而知。后来由于战时原因以及加拿大主权等问题需要飞机拥有极区飞行的能力，北美在极区导航问题上的投入逐渐增多。尽管如此，美国和加拿大在极区的科研活动直到1958年才达到俄国1943年的水平。波音公司于2001年正式开通了链接北美与亚洲的极区商业航线，这一举动说明了欧美西方国家在极区导航领域已经有了相当成熟的方案。目前随着大飞机项目的发展及军机项目的需求，国内对极区导航领域的研究也渐渐引起了大家的关注。但由于地理位置的限制以及历史上对极区探索的不足，国内对极区的研究相对滞后，研发的航空惯导系统也不具备极区飞行的能力[2-4]。

目前常见的极区惯性导航方法有三种：极区平面导航、横向经纬度导航、格网导航。其中极区平面导航忽略了地球的球面特性，将惯性导航简化为二维平面导航，存在着原理性误差；横向经纬度导航通过坐标变换将极点转换到赤道上，虽解决了高纬度地区的导航问题，但是在赤道附近又无法完成定位定向，而且将地球模型当作圆球模型，也存在着原理性误差；格网导航是目前比较成熟的一种极区导航方案，但是其计算量大，且在赤道附近不可用。上述方案均需要在高纬度地区与低纬度地区采用两种不同的导航方式，无法在全球范围内实施导航解算，使得导航系统变的更加复杂[5-8]。

本文在过去极区导航发展的基础上，提出一种新的方法——法向量法，并且根据这种方法推导出一套适用于全球范围导航的力学编排，进行仿真验证。

1 法向量基本原理与相关计算

2010年挪威学者Kenneth Gade在The Journal of Navigation杂志上发表了“A Non-singular Horizontal Position Representation”一文，提出了一种无奇异的水平位置表示方法，并根据其原理将其命名为法向量法[9]。

曲面的各点的法向量可以用来表示该点的水平位置。法向量的定义如下：坐标系A下有一严格凸且可微的面，坐标系B是这个面上的坐标系。用B系原点指向面外侧的单位长度法向量来表示B系相对于A系的位置。将这个法向量记作nAB。由于地球表面本身就是一个严格凸且可微的参考椭球面，依照上述定义，将地球坐标系e系当作A系，机体坐标系b系当中定义中B系，则可以用B点法向量表示载体相对于地球的位置。用来表示位置的向量记作neb，如图1所示。

图1 法向量与地球的关系Fig.1 Relationship between the normal vector and the Earth

法向量用来表示水平位置是无奇异的，因为它具有“一对一”的性质，即每个单位长度法向量只能对应一个水平位置，反之，每个水平位置也只能对应一个的单位长度法向量。而要达到这个要求，则法向量所在平面必须是一个闭合平面，且同时满足严格凸与可微两个条件。因为如果一个平面不是闭合的，则在其端点处可以有多个法向量对应这一点；如果平面非严格凸，则一个向量会与多点相对应，如图 2(a)所示；如果平面不可微，则多个法向量可对应这个不可微分的点，如图2(b)所示。

图2 法向量与不同平面的关系Fig.2 Relationship between normal vectors and different planes

大地水准面本身就是一个严格凸且可微分的闭合椭球面，因此用法向量表示水平位置满足“一对一”的性质，是无奇异的。

前面从几何的角度分析了法向量是如何表示水平位置且无奇异的。下面将介绍一些在实际应用中十分有用的法向量基本运算。需要说明的是，如无特殊说明，本文中所涉及的法向量均是地球坐标系下向量。举例说明，用法向量来表示北极点，可记作

1）经纬度转换为法向量

经度λ和纬度L的取值范围如下：

由几何关系可得：

2）由法向量转化为经纬度

由几何关系可得：

在数值计算中，当纬度接近±π/2时，arcsin( )的计算精度降低，因此采用arctan2( )来计算纬度。从数学上讲，对于任意角而言，arctan2( )的计算值都是准确的（0/0除外）。根据三角函数的关系，将纬度的计算公式重新定义如下：

式(4)(5)中atctan2(b,a)是arctan(b/a)的四象限版本，用四象限反正切表示可以避免载体在极点时法向量的x分量被零除。此外，由于三角函数在定义域内不具备一一对应的关系，因此反正切函数必须保证计算值在规定的值域范围之内，式(5)中第二个参数非负，因此在计算纬度时可以确保计算值的正确性。

3）东向与北向

在极点以外的区域通常使用东/北向的定义来确定载体的航向，将垂直于子午面的方向定义为东向，用法向量表示如下：

同理，北向向量计算公式如下：

通过式(6)(7)可以得到地球系到地理系的旋转矩阵：

式中的三个列向量分别表示东向、北向和天向的单位向量。

4）法向量的更新

根据哥式定理，可求得法向量变化率如下：

5）高度更新

高度变化率为地球系下速度在天向上的投影：

2 法向量惯性导航力学编排

法向量导航力学编排方案选取地球坐标系为导航坐标系，用法向量代替经纬度来进行位置更新，最后再根据需要将输出的法向量转化为经纬度或者直角坐标。其力学编排方案如下：

1）姿态微分方程：

式(12)的机上执行算法采用四元数法和旋转矢量算法，具体可参考文献[7]。

2）速度微分方程

根据文献[7]中的比力方程可以写出地球坐标系下的速度微分方程，如下：

3）位置微分方程

法向量导航采用法向量来求取当前经纬度，进而求取直角坐标。位置微分方程由水平位置微分方程与高度微分方程组成，其中水平位置由法向量表示：

此外，纯惯导高度通道是发散的，因此必须使惯性高速通道具有阻尼，比如采用气压计和三阶阻尼回路给惯导高速通道增加阻尼。

显而易见，法向量导航力学编排方案直观简洁，计算量小，并且适用于全球范围导航。后面会对此结论进行仿真验证。

3 法向量导航误差方程

为分析法向量导航的性能，同时也为了便于将法向量导航与其他导航系统进行组合导航，推导法向量误差方程是十分必要的。

[10]中给出捷联惯导系统的姿态误差，当取地球坐标系为导航坐标系时：式(18)为姿态误差方程，其中δKG、δG分别为陀螺的刻度系数误差和安装误差角，ε为陀螺漂移；式(20)为速度误差方程，其中，φ为姿态误差角，δKA、δA分别为加速度计的刻度误差系数和安装误差角；式(21)(22)为位置误差方程。

4 仿真分析

为验证极区法向量惯性导航的合理性，生成一条沿某固定经线飞跃极点然后飞出极区的轨迹。采用数值解法给出陀螺和加速度计信息。根据极区导航的需要，将轨迹起始点设置为(83°N, 108°E, 5000 m)，载体沿108°E经线以250 m/s的速度向极点飞行，越过极点后沿 72°W 飞离极点，共飞行 7200 s，飞行距离 966 n mile。整个飞行过程无航向无机动，飞机保持平飞。

对仿真数据采用设计的法向量导航编排方案在不加器件误差条件下进行仿真，算法误差如图3～6所示。

由结果图可以看出，法向量导航在极区的算法误差很小，可以满足极区导航的需要。从图5和图6可以看出，经纬度表示下的位置误差在极点附近有明显变化，而直角坐标系下的位置误差则更加平滑，所以在高纬度地区采用直角坐标表示位置时精度更高。

图3 地球坐标系下姿态误差角（无器件误差）Fig.3 Attitude errors in earth frame (without apparatus error)

图4 地球坐标系下速度误差（无器件误差）Fig.4 Velocity error in earth frame (without apparatus error)

图5 东北高位置误差（无器件误差）Fig.5 Latitude, longitude and height errors(without apparatus error)

图6 直角坐标系下位置误差（无器件误差）Fig.6 Position errors in ECEF frame (without apparatus error)

下面对图5中导航定位误差在极点附近跳变原因进行分析。如图7所示，真实航路为a-b-c，而导航计算航路为A-B-C，两者几乎平行且靠得很近，定位误差定义为计算值减去真实值。

在A点时，计算纬度大于真实纬度，因而纬度误差为正；在B点二者恰好相等，误差为零；过B点后，计算纬度小于真实纬度，误差转负。与纬度误差分析类似，A点时，经度误差为负，B点经度误差绝对值最大，为180°，C点经度误差转为正。

实际上计算位置与真实位置的几何距离变化不大，只不过由于经纬度定义的特殊性，在飞跃极点时，定位误差方向会产生改变。

图7 真实轨迹与计算轨迹之间关系Fig.7 Relationship between real trajectory and calculated trajectory

为进一步验证惯性器件误差对法向量导航算法的影响以及法向量导航算法对误差的适应性，增加器件误差并仿真。陀螺误差参数设置如下：随机常值漂移0.01 (°)/h，随机游走系数加速度计误差参数设置如下：随机常值偏置40 μg，随机游走系数高度通道通过气压高度计与惯导高度通道融合得到天向通道速度和高度。模拟气压高度计的随机噪声为10 m。仿真过程中的误差如图8～11所示。

由图8可以看出，地球坐标系下的平台失准角在2 h内引起的误差小于2′。由图9可以得出速度误差小于0.8 m/s。图10所示经度误差小于200 m，纬度误差小于3000 m，但是在极点附近有跳变。图11所示直角坐标系内误差全程小于2 km，且平滑无跳变。

图8 地球坐标系下姿态误差角（有器件误差）Fig.8 Attitude error in earth frame (with apparatus error)

图9 地球坐标系下速度误差（有器件误差）Fig.9 Velocity error in earth frame (with apparatus error)

图10 东北高位置误差（有器件误差）Fig.10 Latitude, longitude and height errors(with apparatus error)

图11 直角坐标系下位置误差（有器件误差）Fig.11 Position errors in ECEF frame (with apparatus error)

5 结 论

法向量的实质就是将游移方位力学编排位置方向余弦矩阵的最后一行包含水平位置信息的元素提取出来，抛弃游移力学编排中没用的信息（游移方位角），并且用一个三维的向量去表示一个二维的水平位置，这样做的目的是为了避免奇异。选取地球坐标系作为导航坐标系，其力学编排简洁直观，具有更好的应用价值。此外，与格网导航相比，法向量导航适用于全球范围，不需要完成中低纬度与高纬度变化时导航模式之间的切换[9]。为满足全天候长航时的导航要求，还需要同卫星导航、天文导航等进行组合导航，对惯导误差进行校正，这方面可以利用文中所推导的误差方程进行分析。

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N-vector inertial navigation mechanization algorithm for transpolar aircraft

ZHANG Guang-dong1, YAN Gong-min2, WENG Jun2, YANG Hong-tao1
(1.Xi’an Institute of Optics And Precision Mechanics Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710119, China;2.School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710129, China)

The classical mechanization working could not confirm its position and heading in the circumpolar latitude area.For overcoming this problem, the normal vector inertial navigation basing on earth-fixed frame is presented.This approach uses a normal vector instead of latitude/longitude to finish updating of position.It could achieve navigation requirement world-wide.The n-vector mechanization error equations are derived,which can be used in the design of integrated navigation systems.The simulation could test and verify the error characteristics of n-vector mechanization.The n-vector mechanization offers the solution to transpolar aircraft.The reason of the navigation error saltation near the pole area is explained.

polar navigation; transpolar aircraft; normal-vector navigation; error equation

V249.3

A

1005-6734(2017)05-0606-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.05.009

2017-06-24；

2017-09-16

中科院西部之光基金（Y529571233）k

张广栋（1990—），男，研究实习员，主要研究方向为惯性导航、目标定位。E-mail: 275916759@qq.com